Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества.

Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… Суть последовательности Леонардо заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих. Эта последовательность чисел была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые числами Фибоначчи, и это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

Цель настоящего реферата – знакомство с числами Фибоначчи и историей их открытия; изучение свойств чисел Фибоначчи; изучение областей их применения.

1. Историческая справка

Леонардо Пизанский (Фибоначчи)

Leonardo Pisano

Дата рождения: ок. 1170 года

Место рождения: Пиза

Цата смерти: ок. 1250 года

Место смерти: Пиза

Научная сфера: Математика

Известен как пропагандист десятичной системы счисления и использования арабских цифр.

Леонардо Пизанский первый средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи {Fibonacci). О происхождении этого псевдонима имеются разные версии. По одной из них, его отец Гильермо имел прозвище Боначчи {«Благонамеренный»), а сам Леонардо прозывался filius Bonacci («сын Благонамеренного»). По другой, Fibonacci происходит от фразы Figlio Виопо Nato Ci, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился». Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Леонардо изучал труды математиков стран ислама (таких как ал-Хорезми и Абу Камил); по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (Liber abaci, 1202; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 г.). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной.

«Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220) содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло). В трактате «Цветок» (Flos, 1225) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение. «Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225), содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений.

2. Определение последовательности Фибоначчи

Сообщаемый в “Книге абака” материал Леонардо поясняет на большом числе задач, составляющих значительную часть этого тракта. Рассмотрим одну из них: “Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рожают кролики со второго месяца после своего рождения”.

Ясно, что если считать пару кроликов новорожденными, то на 2-й месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц – 1+1=2; на 4-й – 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство даёт лишь одна пара); на 5-й месяц – 3+2=5 пар (лишь два родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на пятый месяц); на 6-й месяц – 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-месяце через u_k, u₁=1, u₂=1, u₃=2, u₄=3, u₅=5, u₆=8, u₇=13, u₈=21 и т. д. причем образование этих чисел регулируется общим законом:

U_n= u_n-1+u_n-2 , при всех n>2.

В итоге получается такая последовательность: 1,1, 2, 3, 5, 8,13,21,34, 55, 89, 144, 233, 377, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Эту последовательность можно продолжать бесконечно долго. Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …называются числами Фибоначчи, а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи.

Суть последовательности Фибоначчи заключается в том, что, после двух первых членов 1,1 каждое следующее число, получается сложением двух предыдущих.

Этот числовой ряд был известен ещё в Древней Индии задолго до Фибоначчи. Своё нынешнее название числа Фибоначчи получили благодаря исследованию свойств этих чисел, проведённому Леонардо.

3. Свойства последовательности Фибоначчи

У этой последовательности есть ряд математических особенностей.

1. Отношение какого-либо элемента последовательности к предшествующему ему колеблется около числа 1,618…, через раз, то превосходя, то не достигая его:
2. Отношение какого-либо элемента последовательности к последующему приближается к числу 0,618…, что обратно пропорционально числу 1,618…
3. Если делить элементы последовательности через один, то получим числа 2,618… и 0,382…, которые так же являются взаимно обратными числами.
4. Каждое третье число чётное, каждое четвёртое делится на 3, каждое пятое – на 5, каждое пятнадцатое – на 10.
5. Невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи (никакое число ряда не может повторяться дважды).

4. Золотое сечение. Спираль Фибоначчи

Иррациональное число "фи" (Ф=1,618…) – «Золотое сечение», «Золотое среднее», «Отношение вертящихся квадратов», 0,618… - «Золотая пропорция».

Фибоначчи по сути не открыл ничего нового, он просто напомнил миру о таком явлении, как Золотое сечение.

Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе. Если на простом примере, то Золотое Сечение -это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.

b : а = с : b или a : b = b : c

Если принять весь отрезок с за 1, то отрезок b, будет равен 0,618, отрезок а будет равен 0,382, только так будет соблюдено условие Золотого Сечения (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618). Отношение с к b равно 1,618, а с к а равно 2,618. Это всё те же, уже знакомые нам, коэффициенты Фибоначчи.

Если взять прямоугольник с длиной и шириной равными двум соседним числам Фибоначчи, то получится «Золотой прямоугольник». Если разбить его на более мелкие прямоугольники с размерами, соответствующими двум соседним числам Фибоначчи и разделить каждый из них дугой, то система начнет приобретать некоторую форму в виде спирали.

5. Некоторые приложения чисел Фибоначчи в природе, архитектуре, космосе

Еще немецкий поэт Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Спираль видна в ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган.

Чешуйки на поверхности сосновой шишки расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21. Расположение семян в подсолнечнике и цветов броколли – идеальная последовательность спиралей

Расстояние между листьями (или ветками на стволе растения) относятся примерно как числа Фибоначчи.

Во всех внешних и внутренних пропорциях пирамид в Гизе и пирамидах Майя в Мексике число 1,618… играет центральную роль.

Самый потрясающий пример спиралей находится прямо над нашими головами на расстоянии приблизительно в 100 000 световых лет.

Даже спирали галактик сформировались по абсолютно тому же принципу, как и крошечная раковина!