Площадь треугольника

В прошлый раз мы разминались следующей азартной игрой: девять карт с достоинствами от 1 до 9 лежат на столе рубашками вниз, а два человека поочерёдно берут их себе. Выигрывает тот, у кого первого найдётся три карты, сумма значений которых составит 15. Часть решающих не сразу заметила, что для выигрыша необходимо набрать ровно три карты, поэтому старалась не позволить сопернику получить одновременно карты 7 и 8, например. Часть вспомнила эту задачку, судя по молниеносности ответа. Некоторые даже нашли энергию, чтобы взломать задачку методом грубой силы. А остальные дошли до вполне хорошего решения, сделав качественный перевод с одного языка на другой (то, чем занимаются, например, математики и программисты). Существует всего восемь троек карточек, сумма которых составляет 15: 9+5+1 = 15, 9+4+2 = 15, 8+6+1 = 15, 8+5+2 = 15, 8+4+3 = 15, 7+6+2 = 15, 7+5+3 = 15, 6+5+4 = 15. Глядя на эти строчки, можно заметить, что пятёрка встречается 4 раза, чётные числа по 3 раза, а остальные нечётные - по 2. Вообще говоря, это уже подсказывает, что выгодно брать карточку с пятёркой или с чётными числами, если пятёрки нет. Ну а далее нужно применить «метод пристального взгляда». Как мы можем удачно расположить девять чисел? Например, в квадратике 3 на 3. Причём в центр стоит поставить пятёрку, так как через неё проходит сразу четыре линии (две диагонали, горизонталь и вертикаль). А в углы надо ставить чётные числа, ведь через них как раз проходят три линии (ровно столько, сколько есть строчек с чётными числами в нашем списке). У меня получился следующий магический квадрат (квадрат, у которого суммы элементов по всем строчкам, столбцам и диагоналям совпадают): 2 9 4 7 5 3 6 1 8. Полагаю, все уже догадались, что теперь можно играть в обычные «крестики-нолики», так как все ходы этой детской игры взаимооднозначно переводятся в ходы исходной игры с девятью картами. Но теперь-то игра нам кажется гораздо более простой, не так ли? Например, теперь мы твёрдо знаем, что тот, кто ходит первым, заведомо может свести игру к ничьей, если будет правильно действовать. Что делать дальше? А давайте от скучных карточных игр перейдём к весёлой геометрии. Многие из вас помнят, что площадь треугольника можно выразить через его периметр и радиус вписанной в него окружности (S = R * P/2). Как доказать это утверждение? Достаточно разбить наш треугольник на три, чтобы одна из вершин каждого из них совпадала с центром вписанной окружности, а две другие были вершинами исходного треугольника. Тогда мы легко можем вычислить площадь большого треугольника, так как она равна сумме площадей трёх маленьких. А площадь каждого маленького треугольника - это половина произведения радиуса вписанной окружности на сторону. Всё верно? Точно? ;) Ну раз так, то давайте уже решим задачку: найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24. P.S. Слишком просто? Но мы же уже сталкивались с тем, что даже площадь прямоугольного треугольникаможет себя неожиданно проявить :)

ИЛЬЯ ВЕСЕННИЙ

http://my-tribune.blogspot.ru/2011/03/blog-post.html