Принцип Дирихле

Задача 1. В хвойном лесу растут 800000 елей. На каждой ели - не более 500000 иголок. Доказать, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Решение. Предположим противное, то есть, предположим, что в этом лесу не существуют две ели с одинаковым числом иголок. Тогда существует не более одной ели (одна ель или ни одной), имеющей одну иголку. Аналогичным образом, существует не более одной ели с двумя иголками и т.д., не более одной ели с 499999 иголками, не более одной ели с 500000 иголками. Таким образом, не более 500000 елей обладают числом иголок от 1 до 500000. Поскольку всего растут 800000 елей, и каждая ель имеет не долее 500000 иголок, следует, что найдутся хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Замечание. Легко заметить, что решение в сути не зависит от конкретных чисел 800000 (количество елей) и 500000 (наибольшее число иголок). Принципиально был использован тот факт, что число 800000 строго больше 500000. В доказательстве предполагалось, что нет ни одной ели без иголок, хотя задача и доказательство справедливы и в этом случае.

Теперь сформулируем принцип Дирихле.

Пусть в n коробок помещены k предметов. Если количество предметов больше количества коробок (k > n), тогда существует хотя бы одна коробка, в которой бы находилось 2 предмета.

Примечание. Отметим, что не важно, в какой именно коробке находятся по крайней мере два предмета. Также не имеет значение, сколько предметов в этой коробке, и сколько всего таких коробок. Важно то, что существует хотя бы одна коробка с не менее чем двумя предметами (два или более).

В литературе этот принцип также встречается под названиями: "принцип кроликов и клеток", "принцип ящиков и объектов".

Вернемся к задаче 1. Решим эту задачу, используя принцип Дирихле. Пусть имеются 500000 коробок, соответственно пронумерованных 1,2,3,.,500000. Помещаем (мысленно) в эти коробки 800000 елей следующим образом: в ящик с номером s помещаем ели, на которых ровно s иголок. Поскольку елей, то есть "предметов", больше, чем коробок, следует, что по крайней мере одна коробка будет содержать не менее двух предметов, то есть, не менее двух елей. Так как в одной и той же коробке находятся ели с одинаковым числом иголок, приходим к выводу, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Конечно, задача 1, как мы убедились, очевидна, и легко может быть решена без помощи принципа Дирихле. Поэтому, естественно, возникает вопрос: "Для чего тогда нужен принцип Дирихле?" В дальнейшем мы увидим, что некоторые задачи не так очевидны при непосредственном решении, но в то же время достаточно просто решаются при помощи принципа Дирихле. Простота решения в значительной степени зависит от того, насколько удачно будут выбраны "коробки" и "предметы". То есть, при использовании принципа Дирихле необходимо указать, что (кто) будет "коробкой", а что (кто) - "предметом".

В дальнейшем, для закрепления материала, приведем решения ряда задач.

Задача 2. Доказать, что среди шести целых чисел найдутся два числа, разность которых делится на 5.

Решение. Рассмотрим 5 коробок, пронумерованных 0,1,2,3,4, - цифрами, представляющими собой остатки от деления на 5. Распределим в эти коробки шесть произвольных целых чисел в соответсвии с остатком от деления на 5, то есть, в одну и ту же коробку помещаем числа, имеющие одинаковый остаток от деления на 5. Поскольку чисел ("предметов") больше, чем коробок, согласно принципу Дирихле, существует одна коробка, содержащая более одного предмета. То есть, существуют (по крайней мере) два числа, помещенные в одну и ту же коробку. Следовательно, существуют два числа с одинаковым остатком от деления на 5. Тогда, разность этих чисел делится на 5.

Задача 3. Доказать, что для любого натурального числа n ≥ 1, существует натуральное число, состоящее из цифр 0 и 5, делящееся на n.

Решение. Рассмотрим натуральные числа

и распределим эти "предметы" в "коробки" пронумерованные 0,1,.,n-1 (цифрами, представляющими собой остатки от деления на n). В коробку s помещаем число a_k, которое имеет остаток от деления на n, равный s.

Если в коробке с номером 0 находится один "предмет" (то есть, одно число), тогда задача решена. В противном случае n "предметов" находятся в n-1 "коробках". Согласно приципу Дирихле, существуют два "предмета" (числа), находящиеся в одной и той же коробке. То есть, существуют два числа, имеющие одинаковый остаток от деления на n. Их разность будет делится на n, и как легко заметить, разность чисел, состоящих из цифр 0 и 5, также будет числом, состоящим из 0 и 5.

Задача 4. В зале находятся n человек (n ≥ 2). Доказать, что среди них найдутся два человека с одинаковым числом знакомых (предполагается, что если человек A является знакомым человекаB, то и B является знакомым A; никто не считается своим собственным знакомым).

Рещение. Обозначим через m количество человек, которые имеют хотя бы одно знакомство в зале (это и будут "предметы"). Каждый из этих m человек может иметь 1,2,.,m-1 знакомых ("коробки" - число знакомых).

Согластно принципу Дирихле, сущетсвуют два человека с одинаковым числом знакомых.

При решении некоторых задач полезно применять обобщенный принцип Дирихле.

Если pn+1 предметов поместить в n коробок, тогда хотя бы одна коробка будет содержать по крайней мере p+1 предметов.

Задача 5. В доме живут 40 учеников. Существует ли такой месяц в году, когда хотя бы 4 ученика празднуют свой день рождения.

Решение. Пусть "коробками" будут месяцы, а "предметами" - ученики. Распределяем, "предметы" по "коробкам" в зависимости от месяца рождения. Так как число месяцев, то есть, коробок, равно 12, а число учеников, то есть, предметов 40 = 12·3+4, согласно принципу Дирихле существует коробка (месяц) с по крайней мере 3+1=4 предметами (учениками).