Развитие математики в СССР

Советская математическая школа окончательно оформилась в 1930-е годы и вскоре стала одной из ведущих в мире. Больших успехов достигли советские математики как в традиционных, так и в новых областях математики — топология, теория меры, теория функций действительного и комплексного переменного, ряды Фурье, теория множеств, теория вероятностей и др. Перечислим некоторые крупные открытия советских математиков.

Математическая логика и обоснование математики

А. Н. Колмогоров разработал аксиоматику теории вероятностей (1933), сразу ставшую общепризнанным фундаментом этой науки. Колмогоров и А. А. Марков участвовали в формулировке точного понятия алгоритма: Марков ввёл для этого понятие нормального алгоритма, которое использовал при разработке понятий конструктивного анализа. П. С. Новиков много работал в области исследования разрешимости алгоритмов; в частности, он доказал неразрешимость проблем тождества, изомеризации и сопряжённости теории групп; для свойств полугрупп аналогичные результаты получил А. А. Марков

Теория чисел

И. М. Виноградов (1924 год) и Ю. В. Линник (1942 год) внесли определяющий вклад в решение «проблемы Варинга». Л. Г. Шнирельман и И. М. Виноградов в 1930-е годы далеко продвинули решение «проблемы Гольдбаха». А. О. Гельфонд решил 7-ю проблему Гильберта: всякое алгебраическое число, отличное от 0 и 1, будучи возведено в иррациональную степень, дает трансцендентное число. И. Р. Шафаревич доказал общий закон взаимности степенных вычетов. Обнаружены и практически применяются связи аналитической теории чисел со многими другими разделами математики.

Геометрия

А. Д. Александров, родоначальник так называемой геометрии Александрова (раздела метрической геометрии), развил синтетический подход к дифференциальной геометрии. Включает в частности CAT(k) пространства (англ.). Этот раздел повлиял на формирование геометрической теории групп, в частности теории гиперболических групп.

Топология

П. С. Александров создал теорию компактных топологических пространств. Л. С. Понтрягин стал одним из основоположников современной алгебраической топологии.

Общая алгебра

А. И. Мальцев нашёл необходимые и достаточные условия упорядочиваемости группы, доказал фундаментальную теорему о представлении произвольной группы Ли в виде прямого произведения её максимальной компактной подгруппы на евклидово пространство. Он же осуществил классификацию полупростых подгрупп классических групп Ли. Л. С. Понтрягин создал чрезвычайно общую теорию характеров топологических абелевых групп.

Н. Г. Чеботарёв и И. Р. Шафаревич успешно использовали теорию Галуа для решения множества алгебраических проблем. В частности, Шафаревич установил, что для поля алгебраических чисел конечной степени всегда существует алгебраическое расширение, имеющее заданную разрешимую группу Галуа.

Математический анализ

С. Н. Бернштейн решил 19-ю проблему Гильберта. Д. Е. Меньшов доказал, что всякая конечная периодическая измеримая функция почти всюду представима сходящимся тригонометрическим рядом. Значительный вклад был внесен в теорию дифференциальных уравнений и функциональный анализ.