Применение  производной  к построению  графиков функций (для ДО)

Тема: Применение производной к построению графиков функций

1. Для рассмотрения данной темы можно воспользоваться учебником «Алгебра и начала математического анализа» автор А. Н. Колмогоров, стр. 151, п.24 Примеры применения производной к исследованию функции.

2. Ранее был изучен способ нахождения промежутков монотонности, точек экстремумов и экстремума функции (см. предыдущие конспекты). В данном материале мы рассмотрим как применить производную к построению графика функции, а точнее покажем полное исследование функции и как результат - её график. Важно понимать, что если исследование выполнено неверно, то и график получим неверный!

Начнем с общей схемы исследования функции.

1. Найдем область определения функции.
2. Определим чётность или нечетность функции.
3. Точки пересечения графика с осями координат (если это незатруднительно).
4. Промежутки возрастания и убывания.
5. Точки экстремума и экстремумы функции.
6. Строим график функции на основании исследования (при необходимости находим дополнительные точки для построения графика)

Пример 1. Исследуем функцию у= х³-3х+4, и построим её график

Решение:

1. Область определения R (множество всех чисел)
2. Определим четность функции: (вспомним, если у (- х ) = у (х) – четная, если у( -х ) = -у (х) - функция нечетная)

у(-х)=(-х)³-3(-х)+4=-х³+ 3х+4, это значит, что функция ни четная ни нечетная.

1.Найдём производную функции:

Приравниваем производную к 0 и находим критические точки:

– критические точки

Выделим интервалы знакопостоянства производной ( т.е. интервалы где она имеет знак «+», а где знак «-»), которые и определяют интервалы монотонности самой функции (см. Рис. 1).

До точки функция возрастала (производная была положительна «+»), после этой точки функция убывает (производная отрицательная «-»), следовательно, – это точка максимума.

До точки функция убывала, после этой точки функция возрастает, следовательно, – это точка минимума.

Рис. 1.

График производной функции

Найдем значения функции в точках минимума и максимума:

4. Получим экстремумы функции (-1;6) и (1;2).

5. Можно сделать вывод, что функция возрастает от до 6 и от 2 до ; функция убывает от 6 до 2.

6. На рис. 2. показан график функции .

Результаты исследования функции ( пункты где мы применяли производную)

1. при и при

2. при

3. – т. max

– т. min

Можно проводить исследование, показывая на координатной прямой точки экстремума (как мы это делали на предыдущих уроках), расставляя стрелочки под прямой, в соответствии с тем где функция возрастает - стрелочка вверх, а где убывает - вниз!

Далее рекомендую разобрать в учебнике на стр. 152 – 153 примеры исследования функции и построения её графика (записать в тетрадь с построением графика).

При изучении данной темы можно использовать также различные образовательные интернет - ресурсы http://www.lbz.ru/metodist/iumk/mathematics/er.php ; https://fmli.rkomi.ru/pages/spisok_internetresursov_dlya_uchiteley_i_obuchayuschihsya

Домашнее задание: № 296 (в), №297(б) – отправить мне на электронную почту для проверки!

[email protected]