Три типа задач на проценты

НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТА ОТ ЧИСЛА (ВЕЛИЧИНЫ)

Примем за a – данную величину (данное число), p – количество процентов, которое находится от этой величины (числа), b – результат данного действия.

Для нахождения процента от числа (величины) целесообразно пользоваться общим правилом нахождения дроби от числа*. Так как процент – это частный случай дроби, то и процесс нахождения процентов от числа, является частным случаем нахождения дроби от числа.

Термины «сотая часть» и «процент» являются синонимами. Поэтому уместно «переводить» текст задания с «процентного» языка на «дробный»: найти восемь процентов от величины всё равно, что найти её восемь сотых. Тогда, чтобы найти p % от a надо это число умножить на дробь соответствующую искомому количеству процентов:

a = a 0,01p, то есть a × (p%) = b

Запись a × (p %) с точки зрения математики не корректна, так как символ «%» является знаком для замены слова «процент», и он не даёт возможности выполнять арифметических действий. Однако, она удобна для конструирования общих схем решения задачи. Поэтому ею можно пользоваться, помня о необходимости корректного её понимания. При конструировании математической модели необходима замена символьного обозначения количества процентов р % на соответствующее рациональное число, то есть (p % ) = 0,01p. Так как

Например, чтобы найти 20% от 45, необходимо найти двадцать сотых или 0,2 от 45, тот есть 45 × 0,2 = 9. А 118% от x равны 1,18 x. Примеры нахождения конкретного количества процентов от числа a смотри в таблице ниже.

Типы задач на проценты

В зависимости от того, какой компонент равенства a × (p%) = b неизвестен, получаются три основных типа задач на проценты:

a × (p%) = b

Первую формулу считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на проценты и, при желании, можно пользоваться ею, чтобы найти любую из неизвестных величин а, b или p. Поэтому нет необходимости запоминать все традиционные алгоритмы, соответствующие трём типам задач на проценты. Достаточно усвоить общую схему, а потом либо выполнять вычисления или решать уравнения.

(I) – нахождение процентов от числа; неизвестным является результат умножения исходного значения числа или величины на какое-то количество процентов, следовательно, необходимо найти значение числового выражения a (p%).

(II) – нахождение числа по его процентам; неизвестным является множитель, соответствующий числу, количество процентов от которого известно, следовательно, необходимо решить уравнение.

(III) – нахождение процентного отношения двух чисел; неизвестным в равенстве a p% = b является множитель p%, следовательно, необходимо решить уравнение.

Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому правило, вытекающее из ситуации (III), называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел. Пусть даны два числа m и n. Ставится задача: сколько процентов одно число составляет от другого? В таких случаях за 100% берётся то число, с которым сравнивают. Дальнейшие рассуждения можно свести к известному равенству. Если необходимо выяснить, сколько процентов число m составляет от числа n, то справедливо равенство n p % = m. Равенство m p % = n означает, что мы ищем, сколько процентов число n составляет от m.

Проценты и пропорции

Задачи на вычисление процентов от числа можно решать с использованием пропорций. Общая схема такова:

a – 100 %

b – p %.

Тогда . Получили то же самое равенство. Всё таки рекомендуем вычислять проценты от числа без привлечения пропорций, но вот когда они, безусловно, необходимы, так это в задачах следующего типа.

Рабочий изготовил 480 деталей, выполнив задание на 120 %. Сколько нужно изготовить деталей, чтобы перевыполнить задание на 110 % ?

Решение.

Составим пропорцию

480 – 120 %

x – 110 %.

Тогда x = .

Отличительной чертой таких задач является тот факт, что речь идёт о процентных наполнениях одной и той же величины. Например, как в следующей задаче.

Рабочий за 10 месяцев выполнил 80 % плана. На сколько процентов рабочий выполнит план за год?

Решение.

Составим пропорцию

10 – 80 %

12 – x %.

Тогда x = .

Разновидности типовых задач на проценты

Указанные выше задачи имеют частные проявления.

Задачи типа (I):

– нахождение процентов от процентов;

– в соответствии с правилом нахождения процентов от числа решаются задачи на процентные изменения (увеличение и уменьшение, однократные и многократные)*;

– на сколько процентов надо изменить одно число, чтобы получить другое.

Задачи типа (III):

– на сколько процентов одно число меньше (больше) другого;

– первое число составляет p% от второго, сколько процентов составляет второе число от первого;

– первое число на p% меньше (больше) второго, на сколько процентов второе больше (меньше) первого.

Нахождение процентов от процентов сводится к последовательному умножению соответствующих дробей и является пропедевтикой задач на процентное изменение. Например, вычислить 30 % от 25 % от 40:

40 × 0,25 × 0,3 = 3

Последние виды задач (III) рассмотрим на примерах.

1. На сколько процентов число 10 больше числа 5? Исходя из общей схемы, получаем уравнение 5 (p%) = 10, откуда получаем (p%) = 2 = 200%. То есть 10 составляет двести процентов от 5, следовательно, оно на 100 % больше числа 5.

Таким образом, рассуждения в этом случае аналогичны при выяснении процентного отношения двух чисел. Разница только в том, каким образом мы интерпретируем неизвестный множитель p%.

2. Если первое число составляет p% от второго, то процесс выяснения сколько процентов второе число составляет от первого сводится к переходу от равенства a (p %) = b к равенству a = b , в котором ищется значение дроби.

3. Как для предыдущей задачи приходим к равенству a = b и соответствующим образом интерпретируем значение дроби.

ч