Зачем писать непроизносимую согласную в слове «лестница»?

Потому что без суффикса «т» лексическая единица «лестница» окажется совершенно иным словом, точнее — набором букв.

Слово «лестница» образовано от старославянского «лѣствица», но в русском языке прижилось именно с суффиксом «ниц» (по типу слов «чернильница», «мельница», «звонница» и т.д). А слово «лѣствица» образовалось от глагола «лезти». Предположительно буква «з» в корне глагола была заменена на «с» из-за сопоставления со словом «леса» (временное сооружение для строительства).

Со временем суффикс «тв» сократился до «т», но его бездумно убирать слова нельзя. Кстати, морфемный состав лингвисты определяют по разному. Кузнецова и Ефремова указывают на корень «лес-», суффиксы «-т-» и «-ниц-», «-а» - окончание. Но Зализняк считает, что корень в слове «лест-», а суффикс один — «-ниц-».