Задания II этапа республиканской олимпиады по учебному предмету «Математика» 2016/2017 учебный год 10 класс

1. Существует ли такой квадратный трехчлен f, что для любого числа x выполняется равенство ?

2. Докажите, что для любых положительных чисел a, b и c выполняется неравенство .

3. Известно, что a, b, c – целые числа, a + b + c = 15 и уравнение имеет целый корень. Найдите его.

4.Окружность, проходящая через вершины А и В вписанного четырехугольника ABCD, пересекает его диагонали АС и BD в точках Е и F соответственно. Прямые AF и ВС пересекаются в точке P, а прямые ВЕ и AD - в точке Q. Докажите, что PQ||CD.

5. У десятиклассника Васи в кармане лежит 100 одинаковых карточек, на которых записаны натуральные числа от 1 до 100 (каждое число – ровно на одной карточке). Вася вынимает наугад часть карточек и смотрит, какие числа на них написаны. Какое наименьшее число карточек должен вынуть Вася, чтобы среди записанных на них чисел заведомо нашлось шесть, сумма которых делится на 3?