Задания II этапа республиканской олимпиады по учебному предмету «Математика» 2016/2017 учебный год 11 класс

1. Найдите все квадратные трехчлены, у которых сумма корней равна их произведению и равна дискриминанту (корни трехчлена различны).

2. Для любых положительных чисел a, b и c докажите справедливость неравенства

.

3. Найдите все функции y=f(x), заданные при всех действительных значениях х, кроме 0, и удовлетворяющие уравнению .

4. На стороне АВ треугольника АВС выбрана точка D так, что СD = AC. На дуге ВС описанной окружности треугольника BCD (не содержащей точки D) выбрана точка Е, для которой ÐАСВ = Ð АВЕ. На продолжении отрезка ВС за точкой С отмечена точка F так, что CF = CE. Докажите, что АВ = АF.

5. У одиннадцатиклассника Миши в кармане лежит 100 одинаковых карточек, на которых записаны натуральные числа от 1 до 100 (каждое число – ровно на одной карточке). Миша вынимает наугад часть карточек и смотрит, какие числа на них написаны. Какое наименьшее число карточек должен вынуть Миша, чтобы среди записанных на них чисел заведомо нашлось четыре, сумма которых делится на 3?