Задания второго этапа республиканской олимпиады по учебному предмету «Математика» 2019/2020 учебный год 10 класс

1. Сумма n последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все n, при которых это возможно.

2. Дробь 100!1250 сократили, и получили несократимую дробь mn. Найдите n. (100!=1∙2∙3∙…∙98∙99∙100).

3. Для неотрицательных чисел a,b,c таких, что a+b+c≤2019, докажите неравенство

2019a+2019+2019b+2019+2019c+2019>2.

4. Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка E так, что AE=DE и ∠ABE=90°. Точка M – середина отрезка BC. Найдите угол DME.

5. В буфете продавались пирожки по цене 50 копеек, бублики по цене 60 копеек, булки по цене 70 копеек, слойки по цене 80 копеек и пирожные по цене 1 рубль. Группа ребят купила ровно на 10 рублей 14 изделий разных сортов. Сумма различных цен купленных изделий − 2 рубля 10 копеек. Сколько и каких изделий куплено, если известно, что никаких изделий не было куплено больше 7 и никаких изделий не было куплено поровну? (Цена – количество денег за единицу товара).