Задания второго этапа республиканской олимпиады по учебному предмету «Математика» 2019/2020 учебный год 11 класс

1. В первый день Андрей собрал на 25% грибов меньше, чем Борис, а во второй день – на 20% больше, чем Борис. За два дня Андрей собрал грибов на 10% больше, чем Борис. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?

2. Найти все функции f, определенные на (-∞;+∞) и принимающие значения из (-∞;+∞), которые для любых действительных х и у удовлетворяют равенству:

fx2+y=fx+fy2.

3. Докажите, что для любых положительных чисел a, b,c выполняется неравенство

(a+b)(a+c)≥2abc(a+b+c).

4. Пусть М и N – точки касания вписанной окружности со сторонами АВ и ВС треугольника АВС и К – точка пересечения биссектрисы угла А с прямой MN. Доказать, что ∠AKC=90о.

5. В клетки таблицы 15х15 вписаны целые числа. Известно, что сумма чисел в любом квадрате 2х2 нечетна. Какое наименьшее и какое наибольшее количество нечетных чисел может содержаться во всей таблице?