Россия, Оренбургский район село имени 9 января
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 18.05.2025 22:20
Мангаева Зульфира Хамидулловна
Учитель математики
35 лет
9 849
4 421 
Местоположение
Специализация
29.12.20 8 класс Алгебра.
Категория:
Алгебра
28.12.2020 13:32
Просмотр содержимого документа
«29.12.20 8 класс Алгебра.»
29.12.20 Алгебра 8 класс
Тема урока: Как построить график функции y=f(x+t), если известен график функции y=f(x).
Как построить график функции y=f(x)+t, если известен график функции y=f(x).
Ссылка на видео-урок: https://youtu.be/7jzyUDlAo_0
Ссылка на видео-урок: https://youtu.be/aLfrd2kITA8
Запишите число и классная работа.
Сделайте конспект, разберите упражнения.
Как построить график функции у = f (x + t), если известен график функции у = f(x)
Конкретизируем задачу.
Дано:
Кривая 
; график этой функции нам известен
(действительное число)
Построить:
Это и есть задача нашего урока. Рассмотрение этой задачи начнем с простейших примеров.
Пример 1
Пример 1. Построить а) у = (х – 1)2; б) у = (х + 1)2
Дано:
у = х2(графиком данной функции является парабола (рис. 1).
Рис. 1. Парабола
Решение:
Поясним характер кривых, их взаимное расположение поясним с помощью таблицы.
| х | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| у = х2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| у = (х – 1)2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| у = (х + 1)2 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Строим график функции у = (х – 1)2 (рис. 2):
Рис. 2. График функции у = (х – 1)2
Следует заметить, что кривая а) была получена сдвигом на 1 единицу вправо. Кривая же б) будет получена сдвигом на 1 единицу влево (что можно проверить, поставив полученные в таблице точки на координатную прямую) (рис. 3):
Рис. 3. Сдвиг графика
Заметим еще раз, что если к х прибавляется 1 единица, то сдвиг исходной прямой идет влево вдоль оси Ох, а если отнимается – то сдвиг графика идет вправо.
Вспомнить, когда сдвиг идет направо, а когда – налево, нам помогает самая характерная точка параболы – вершина параболы.
Значение у = 0 достигается этими функциями (рис. 4):
при х = 0, если у = х2
при х = 1, если у = (х – 1)2
при х = -1, если у = (х + 1)2
Рис. 4. Случаи, когда у = 0
Если у нас у = (х – 1)2, то кривая сдвигается на 1 единицу вправо.
Если у нас у = (х + 1)2, то кривая сдвигается на 1 единицу влево.
Мы рассмотрели конкретный случай с конкретными числами. Но вместо чисел, можно взять любое действительное число; вместо функции у = х2можно взять любую функцию. Получим важное правило.
Правило
Чтобы получить у = f(x + t), надо кривую у = f(x):
- сдвинуть на 
единиц вправо, если t ,
- сдвинуть на единиц влево, если t 0
Это правило является центральным, и нам необходимо закрепить его на примерах.
Пример 2
Дано:
Построить:
а) 
б) 
Решение:
а) Строим график функции 
и сдвигаем его на 1 единицу вправо (согласно правилу) (рис. 5):
Рис. 5. Иллюстрация к примеру а)
Эта гипербола не существует в точке 
(вертикальная асимптота проходит в точке ).
Точка пересечения с осью Оу – -1, потому что у(0) = -1.
Задача а) решена.
б) Строим график функции и сдвигаем его на 1 единицу влево (согласно правилу) (рис. 6):
Рис. 6. Иллюстрация к примеру б)
Эта гипербола не существует в точке 
.
Точка пересечения с осью Оу – 1, потому что у(0) = 1.
В построении графика 
помогла точка разрыва графика (то есть точка 
; вертикальная асимптота проходит в точке , что означает невозможность существования функции в данной точке.).
Обе задачи решены.
Из этой задачи мы можем сделать вывод, что, если правило забыто, то нам может помочь характерная особенность (например, точка разрыва в примере 1). Но иногда сдвигать график утомительно, тогда мы поступаем следующим образом:
Пример 3
Дано:
Построить:
а)
Решение:
Можно сдвинуть ось Оу. Кривая тогда останется на месте, однако масштаб по оси Ох придется изменить. Если сдвигать всю кривую для построения графика функции, то кривую надо сдвинуть на 1 единицу вправо. Но если мы сдвигаем ось Оу, то ее надо сдвинуть на 1 единицу влево.
Получим новую ось Oу(рис. 7):
Рис. 7. Иллюстрация к примеру 2
Асимптота проходит в точке 
, потому что в точке функции не существует.
Задача решена сдвигом оси Оу. Итак, если затруднительно сдвигать кривую, то можно сдвинуть ось в ту или иную сторону.
Как построить график функции у = f (x) + m, если известен график функции у = f(x)На прошлом уроке мы научились график функции 
. Сейчас же наша задача – научиться строить график функции 
. Рассмотрим пример:
Задача 1
Дано:
у = х2(графиком данной функции будет парабола) (рис. 1)
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Построить:
а) у = х2 + 1
б) у = х2 - 1
Решение: Поясним характер кривых, их взаимное расположение поясним с помощью таблицы:
| х | 0 | 1 | -1 | 2 | -2 |
| у = х2 | 0 | 1 | 1 | 4 | 4 |
| у = х2 + 1 | 1 | 2 | 2 | 5 | 5 |
| у = х2 – 1 | -1 | 0 | 0 | 3 | 3 |
Строим график функции у = х2 + 1 (рис. 2):
Рис. 2. График функции у = х2 + 1
График этой функции получается с помощью сдвига вверх на 1 единицу графика исходной функции.
График же следующей функции мы получим сдвигом исходной функции вниз на 1 единицу (рис. 3):
Рис. 3. График функции у = х2 – 1
Итак, чтобы построить график функции у = х2 + 1, надо график исходной функции сдвинуть на 1 единицу вверх. Чтобы построить график функции у = х2 – 1, необходимо график исходной функции сдвинуть на 1 единицу вниз.
Сдвиги вверх и вниз приводят к изменению множества значений. Множество значений иллюстрирует эти сдвиги:
; 
;
Мы рассмотрели частный случай, когда к х2 прибавляли или отнимали единицу. Отсюда следует правило:
Правило построения не изменится при 
. Правило также не изменится, если мы возьмем любую другую функцию.
Сформулируем важное для нас правило:
Правило
Чтобы получить у = f(х) + m, надо кривую у = f(x):
- сдвинуть на 
единиц вверх, если m 0,
- сдвинуть на единиц вниз, если m
Рисунок отображает графически данное правило (рис. 4):
Рис. 4. Иллюстрация правила
Задача 2
Дана кривая 
. Построить кривые: а) 
; б) 
Построение:
а) Строим график функции и сдвигаем его на 1 единицу вверх (согласно правилу) (рис. 5):
Рис. 5. Иллюстрация к задаче а)
График функции а) построен сдвигом графика исходной функции на 1 единицу вверх.
б) Строим график функции 
и сдвигаем его на 1 единицу вниз (согласно правилу) (рис. 6):
Рис. 6. Иллюстрация к задаче б)
Кривые а) и б) построены. Сделаем некоторый анализ:
У нас есть 3 кривые (у = 
; у = 
и у = 
. Каждая из них есть гипербола. Шаблоном для всех остальных является гипербола . Но у каждой гиперболы есть свой центр симметрии. Отметим их:
(0; 0) –
(0; 1) – 
(0; -1) – 
Итак, построены 3 гиперболы, и для каждой из них указан центр.
Далее рассмотрим горизонтальные асимптоты:
Теперь проанализируем множества значений для каждой из функций:
Задача 3
Найти все значения параметра а, при которых уравнения: а) 
;
б) 
= а; в) 
= а не имеют решений.
Решение:
а) 
Ответ для этой задачи ясен сразу. Уравнение , если 
.
Ответ: это уравнение не имеет решений, когда 
.
б) Преобразуем левую часть:
= 
Эту функцию мы уже рассматривали в задаче 2. Эта функция принимает все значения, кроме 1.
Если 
, то это уравнение не имеет решений.
= + 1 = 
= = 
= = 1 = 
Ответ: это уравнение не имеет решений, когда 
.
в) Запишем его следующим образом:
= 
Мы только что рассматривали эту функцию в задаче 2 и выяснили, что она принимает все значения, кроме -1.
Если 
, то это уравнение не имеет решений.
Ответ: это уравнение не имеет решений, когда .
Дадим геометрическую интерпретацию каждой из задач (рис. 7)
Рис. 7. Иллюстрация к задачам
Итак, мы решили 3 задачи и дали иллюстрации к каждой из них.
Задача 4
Решить уравнение 
.
Решение:
Для начала попробуем решить аналитическим методом.
а) Приведем к общему знаменателю и получим:
= 0
Дробь равна 0 тогда, и только тогда, когда числитель (
равен 0, а знаменатель (х) не равен 0. Но уравнения третьей степени мы сейчас решать не можем. Значит, единственным возможным методом остается графический.
б) Перепишем данное уравнение 
График функции как из левой, так и из правой части мы умеем построить.
Надо построить график каждого из уравнений (рис. 8):
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
График нам подсказывает, что если:
– решений нет
– решение может быть только одно (это наглядно отображено на графике)
Проверим :
Получили обоснованный ответ, что 
.
Ответ: .
Подчеркнем: данное уравнение удалось решить только графическим методом. Это еще раз подтверждает важность построения графиков функции, в том числе и функции вида 
.
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
