№ 3. для 9-А алгебра Вероятность равновозможных событий.

3.04.20. 9-А класс

Тема: Вероятность равновозможных событий.

Ребята, на просторах интернета нашла хороший конспект урока по данной теме. Предлагаю его вам. Мои дополнения к этому конспекту (спасибо автору за материал) будут идти ниже (пункт 7). Хорошей работы. Мы с вами в данном уроке соединяем элементы комбинаторики с классической теорией вероятности.

Цели урока:

1.Дать определение частоты и вероятности случайного события, познакомить с формулой вероятности события. Научить понимать вероятностный характер случайного события.

2. Развивать умения решать задачи.

1. Организационный момент.

Всё как обычно.

1. Актуализация опорных знаний.

Для вычисления классической вероятности нужно лишь знать все возможные исходы события и благоприятные исходы. Однако в жизни чаще встречаются события, сравнить и оценить которые, основываясь только на интуиции, невозможно и трудно.

Классическое определение вероятности применимо только к событиям с равновозможными исходами, что ограничивает область его применения.

Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Опыт имеет три равновозможных исхода:

1. на обе монеты выпадет «орёл»;

2. на обе монеты выпадет «решка»;

3. на одну из монет выпадет «орёл», на другую «решка».

Из них благоприятными будут два исхода:

Правильное решение:

Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1. на обе монеты выпадет «орёл»;

2. на обе монеты выпадет «решка»;

3. на одну из монет выпадет «орёл», на другую «решка»;

4. на одну из монет выпадет «решка», на другую «орёл».

Из них благоприятными будут два исхода.

Даламбер допустил одну из самых распространенных ошибок: он объединил два элементарных исхода в один, тем самым, сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам.

Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий эту ошибку.

Опыт «Выбор перчаток». В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вынимаются две перчатки. Выберите правильный вариант решения.

1 вариант: 3 исхода:

1) «обе перчатки на левую руку»;

2) «обе перчатки на правую руку»;

3) «перчатки на разные руки».

2 вариант: 4 исхода:

1) «обе перчатки на левую руку»;

2) «обе перчатки на правую руку»;

3) «первая перчатка на левую руку, вторая на правую руку»;

4) «первая перчатка на правую руку, вторая на левую руку».

Правильный второй вариант.

Чтобы не повторять эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.

1. Объяснение нового материала.

• А можно ли вычислить вероятность события с помощью ряда экспериментов?

Вероятность попасть под дождь в Лондоне гораздо выше, чем в пустыне Сахара.

Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается тем более вероятным, чем чаще оно происходит. Значит, вероятность должна быть каким-то образом связана с частотой.

1. Частота случайного события.

• Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов:

где А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию

N раз проведено испытание и при этом событие А наступило в N_A случаях.

Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515

мальчиков. . Частота рождения мальчика в такой серии

наблюдений равна 0,515.

Пример 2. За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота

солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?

( , )

Пример 3. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных изделий в

партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.

(F(A) = )

Пример 4. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных

условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту

нормального всхода семян. (F(A) =

• Может быть, относительную частоту и нужно принять за вероятность?

К сожалению, такое определение приводит к одному неудобству – значение частоты зависит от конкретной серии опытов и от их количества.

Фундаментальным свойством относительных частот (если хотите – законом природы) является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота случайного события постепенно стабилизируется и приближается к вполне определенному числу, которое и следует считать его вероятностью.

Пример 5. Подбрасывание монеты. Классическая вероятность: всего 2 исхода,

А – выпадает герб, 1 исход,

Пример 6. Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз,

и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба

в данной серии испытаний равна:

Пример 7. Английский математик Карл Пирсон (1857 – 1936) бросал монету 24000 раз,

причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной

серии испытаний равна:

Пример 5 подтверждает естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна 0,5.

1. Статистическая вероятность.

• Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события, полученной при проведении большого числа случайных экспериментов: , где m - число испытаний, в которых наступило событие А, n – общее число испытаний.

I V. Решение задач.

Задача №1. По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова

вероятность купить исправную лампочку?

Решение.

= 0,003;

1 – 0,003 = 0,997.

Ответ: 0,997.

Задача №2. Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. В

скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление близнецов?

Решение.

Ответ: в 120 случаях.

Задача 865. На каждой карточке написана одна из букв О, П, Р, С, Т. Несколько карточек наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании:

а) 3-х карточек получится слово РОТ;

б) 4-х карточек получится слово СОРТ;

в) 5-ти карточек получится слово СПОРТ?

Решение. Исходами опыта будут расположения выбранных карточек в определенном порядке, то есть размещения .

Исходное множество содержит 5 элементов.

Обозначим буквами А, В, С случайные события, указанные в условии задачи. Найдем их вероятности.

а) Выбираются 3 карточки, k=3, общее число исходов

б)

в)

V. Итог урока. Письменно ответить на вопросы ПРОВЕРЯЕТСЯ

1. Что называется относительной частотой случайного события?

2. Как вычисляют вероятность случайного события при классическом подходе?

3. Приведите пример достоверного события и пример невозможного события. Чему равна вероятность достоверного события; невозможного события?

1. Самостоятельная работа. ПРОВЕРЯЕТСЯ

   На столе 12 кусков пирога. В трех «счастливых» из них запечены призы. Какова вероятность взять «счастливый» кусок пирога? В урне 15 белых и 25 черных шаров. Из урны наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым? 3. В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша? 4. В корзине лежат 5 яблок и 3 груши. Из корзины наугад вынимается один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко?

   5. В мешке лежит 7 красных шаров и 5 зелёных. Из мешка наугад берут 3 шара. Какова вероятность того, что все три шара окажутся зелёными?

2. Определение классической вероятности (для равновозможных событий) Р= ; m – количество благоприятных исходов; n – общее количество всех исходов события.

Ещё раз. В корзине 6 абсолютно одинаковых кубика, но разных цветов. Произвольным образом выбираем один из них. Все исходы равновозможные. Какова вероятность того, что, выбранный наугад кубик, синий: Р= ; а желтый: Р= .

Или. В корзине только яблоки и груши: 2 яблока и две груши (не трогайте их отличие по форме). Все возможные исходы (условие: какова вероятность наступления события, если вынимаем из корзины два раза по очереди фрукты. Речь идет об одном событии).

Исходы: ГГ ГЯ ЯГ ЯЯ , всего четыре.

Вероятность того, что оба раза груши: Р= ;

Вероятность того, что хотя бы один раз груша: Р= ;

Вероятность двух различных исходов: Р= Можете все перевести в десятичную дробь.

Идем дальше. Найти вероятность того, что при бросании кубика выпадет 1 или 2. У кубика 6 граней. Кубик симметричен. Плотность кубика одинакова в каждой точке объема, т.е. все события равновозможны. Рассуждаем. Выпадет 1, значит, не выпадет 2. Не выпадет 1, может выпасть 6 или 4. И т.д. Все события независимы друг от друга. Вероятность каждого исхода:

Р= . Какова вероятность того, что выпадет 1 или 2. Нам всё равно. Нас устраивают оба исхода события.

ПРАВИЛО: если событие А и событие В независимы друг от друга, то вероятность события А или В: Р (А⋃В) = Р(А)+Р(В)

Тогда Р (А⋃В)= + =

А если нужно ответить на вопрос: какова вероятность того, что выпадет не 3. Есть вероятность события А – выпад 3 и есть противоположное ему событие – 3 не выпадет. Тогда

ПРАВИЛО: Вероятность события А и вероятность противоположного ему события А^/ в сумме дают 1: Р(А)+Р(А^/)= 1

В нашем примере: Р (3)= и Р(не 3)= .

Рассмотрим пример.

В коробке 10 простых карандашей и 12 цветных. Наугад выбираем 5 карандашей. Какова вероятность того, что 4 из них цветные.

Всего возможных исходов (это сочетание): ⁵С₂₂ .

Благоприятные для нас: из 5 будет 4 цветных: правило умножения- количество благоприятных исходов: ⁴С₁₂ * ¹С₁₀ =… Советую найти результат.

И так окончательно получаем:

Р(А)_{четыре цветных из 5}= , Р(А) = (в формуле индексы могут «спрыгнуть» со своих мест). Считайте.

ПРОВЕРЯЕТСЯ

1. Домашнее задание. п. 34, 35; № 736; 864 Уже решено, посмотрите решение, пригодится для самостоятельной.

Задача № 864. Из 40 деталей, лежащих в ящике, 3 бракованные детали. Из ящика наугад

вынимают одну деталь. Какова вероятность того, что эта деталь окажется без

брака?

Решение.

Ответ: 0,925.

Задача №736. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Какова вероятность того, что Ольга набрала правильный номер?

Решение. Исходы – перестановки из трех элементов (5, 7, 8); общее число исходов:

Событие А={абонент набрал верный номер};

Просмотреть видеофрагмент (для зачета после карантина)