7.10.21 8 класс АЛГЕБРА

7.10.21 АЛГЕБРА 8 КЛАСС
Тема: Действия с алгебраическими дробями: умножение и деление, возведение в степень.

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, по которым проводятся соответствующие действия с обыкновенными дробями. Напомним их.

Нам известно, что при умножении обыкновенных дробей отдельно перемножаются числители и отдельно – знаменатели, первое произведение записывается числителем, а второе – знаменателем. Например,  .

А деление обыкновенных дробей заменяется умножением на дробь, обратную делителю. К примеру,  .

Теперь можно увидеть отчетливое сходство с правилами умножения и деления алгебраических дробей, которые мы сейчас и сформулируем.

Умножение двух и вообще любого числа алгебраических дробей в результате дает дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей перемножаемых дробей. Этому правилу отвечает равенство  , где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b и d – ненулевые.

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. То есть, деление алгебраических дробей выполняется следующим образом  , где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b, c и d – ненулевые.

Здесь стоит обратить внимание на то, что под алгебраической дробью, обратной данной, понимают такую дробь, произведение которой с исходной тождественно равно единице. То есть, взаимно обратные алгебраические дроби определяются аналогично взаимно обратным числам. И из того, как мы определили умножение алгебраических дробей, следует, что взаимно обратные алгебраические дроби различаются тем, что у них числители и знаменатели переставлены местами. Например, обратной к алгебраической дроби   будет дробь  .

Сегодня на уроке вы научитесь производить такие же действия с алгебраическими дробями.
Внимательно прочитайте теорию и разберите примеры.

Умножение алгебраических дробей

Алгебраические дроби можно умножать. Выполнение этого действия проводится аналогично умножению обыкновенных дробей по следующему правилу: чтобы умножить алгебраические дроби нужно отдельно перемножить числители, и отдельно – знаменатели.

Приведем пример.

Умножим алгебраическую дробь   на дробь  .

Согласно озвученному правилу имеем

  .

Осталось полученную дробь преобразовать к алгебраической дроби, для этого в данном случае нужно выполнить умножение одночлена и многочлена (а в общем случае - умножение многочленов) в числителе и знаменателе: 

.

Стоит заметить, что перед умножением алгебраических дробей желательно разложить на множители многочлены, находящиеся в их числителях и знаменателях. Это связано с возможностью сокращения получаемой дроби. Например,

  .

Деление алгебраических дробей

Движемся дальше по действиям с алгебраическими дробями. На очереди – деление алгебраических дробей. Следующее правило сводит деление алгебраических дробей к умножению: чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Под алгебраической дробью, обратной к данной дроби, понимается дробь с переставленными местами числителем и знаменателем. Иными словами, две алгебраические дроби считаются взаимно обратными, если их произведение тождественно равно единице (по аналогии с взаимно обратными числами).

Приведем пример. Выполним деление  .

Дробь, обратная делителю  , есть  .

Таким образом,  .

Для получения более детальной информации обращайтесь к упомянутой в предыдущем пункте статье умножение и деление алгебраических дробей.

Выполните разминку для глаз. Напишите глазами в воздухе цифры от 1 до 9.

Возведение алгебраической дроби в степень

Наконец, переходим к последнему действию с алгебраическими дробями – возведению в натуральную степень. Определение степени с натуральным показателем, а также то, как мы определили умножение алгебраических дробей, позволяет записать правило возведения алгебраической дроби в степень: нужно в эту степень отдельно возвести числитель, и отдельно – знаменатель.

Покажем пример выполнения этого действия. Возведем алгебраическую дробь   во вторую степень.

По приведенному правилу имеем  . Осталось возвести в степень одночлен в числителе, а также возвести в степень многочлен в знаменателе, что даст алгебраическую дробь вида  .

Решение других характерных примеров показаны в статье возведение алгебраической дроби в степень.

Запишите краткий конспект в рабочую тетрадь.
Выполните самостоятельно:
№ 5.26(в,г), 5.22, 5.31(а,б), 5.32(а,б).

Если у вас остались вопросы и возникли трудности, разберите решенные примеры далее.

Теперь разберемся с применением озвученных правил умножения и деления алгебраических дробей к решению примеров. Начнем с простейшего примера.

Пример.

Выполните умножение и деление алгебраических дробей   и  .

Решение.

Начнем с умножения. По правилу нам нужно отдельно умножить числители и отдельно знаменатели:  . Осталось лишь привести к стандартному виду одночлен в числителе, и выполнить умножение многочленов в знаменателе:  .

Переходим к делению алгебраических дробей. Дробь, обратная к дроби  , имеет вид  . Поэтому  . От деления мы перешли к умножению, осталось закончить решение:  .

Ответ:

 и  .

Напомним, что при умножении и делении обыкновенных дробей мы часто получали сократимые дроби, и перед записью ответа выполняли их сокращение. Например,  . Нужно иметь в виду, что и при умножении и делении алгебраических дробей могут получаться сократимые дроби. Поэтому, учитывая возможность сокращения получаемой дроби, до выполнения умножения и деления полезно разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей. В этом нам добрую службу сослужит материал статьи разложение многочлена на множители.

Пример.

Найдите произведение алгебраических дробей   и  .

Решение.

Перед выполнением умножения дробей, разложим на множители многочлен в числителе первой дроби и знаменателе второй. В этом нам помогут соответствующие формулы сокращенного умножения: x²+2·x+1=(x+1)² и x²−1=(x−1)·(x+1). Таким образом,  .

Очевидно, полученную дробь можно сократить   (этот процесс мы разбирали в статье сокращение алгебраических дробей).

Осталось лишь записать результат в виде алгебраической дроби, для чего нужно выполнить умножение одночлена на многочлен в знаменателе:  .

Обычно решение записывают без пояснений в виде последовательности равенств:

Ответ:

.

Иногда с алгебраическими дробями, которые нужно умножить или разделить, следует выполнить некоторые преобразования, чтобы выполнение указанных действий проходило проще и быстрее.

Пример.

Разделите алгебраическую дробь   на дробь  .

Решение.

Упростим вид алгебраической дроби  , избавившись от дробного коэффициента. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 7, что нам позволяет сделать основное свойство алгебраической дроби, имеем  .

Теперь стало видно, что знаменатель полученной дроби и знаменатель дроби  , на которую нам нужно выполнить деление, являются противоположными выражениями. Изменим знаки числителя и знаменателя дроби  , имеем  .

Наконец, можно переходить непосредственно к делению алгебраических дробей:

Ответ:

.

Сформулированные в первом пункте правила умножения и деления можно распространить на случай умножения или деления на многочлен. Для этого многочлен нужно представить в виде алгебраической дроби со знаменателем 1, аналогично тому, как мы представляли натуральное число в виде дроби со знаменателем 1. Например, многочлен x²+x−4 можно заменить тождественно равной ему дробью  .

Пример.

Выполните деление  .

Решение.

Заменим многочлен x²−16 алгебраической дробью со знаменателем 1, это нам позволит перейти от деления на многочлен к делению алгебраических дробей:

Ответ:

.