В честь окончания учебного года! Скидки до 50% на готовые материалы для учителей на каждый урок

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до 18.06.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 25.04.2020 20:14

Банникова Ирина Александровна

Преподаватель математики

59 лет

3 675

15 563

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Балаково

Специализация

Математика

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

741, 28.03.2020 "Решение комбинаторных задач".

Категория: Математика

27.03.2020 08:56

Изучить материал, составить конспект, решить задачи, фото выполненной работы прислать на почту : irina.bannikova2013@yandex.ru

Просмотр содержимого документа
«741, 28.03.2020 "Решение комбинаторных задач".»

Практическая работа: «Решение комбинаторных задач».

Определение: Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.

Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторные задачи делятся на: задачи на перестановки, задачи на размещение, задачи на сочетание

Определение: Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Обозначение: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Читается: «эн факториал».

Пример: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Кроме того: 0! = 1.

Задачи на перестановки

Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?

Это задача на перестановки.

Решение: Выбираем одну из 3-х книг и ставим на первое место. Это можно сделать 3-мя способами.

Вторую книгу мы можем выбрать из 2-х оставшихся двумя способами, получаем 3·2 способов.

Третью книгу мы можем выбрать 1 способом.

Получится 3·2·1=6 способов.

Ответ: 6.

Определение: Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.

Формула

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»

Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: P₈= 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320.

Ответ: 40320.

Задачи на размещения

Имеется 5 книг и одна полка, такая что на ней вмещается лишь 3 книги.

Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

Это задача на размещение.

Решение: Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это можно сделать 5-ю способами.

Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых.

Таких пар может быть 5·4.

Третью книгу мы можем выбрать 3-мя способами.

Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.

Ответ: 60.

Определение: Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Формула:

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов и в каждой выборке переставить их местами?»

Пример 2. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

Решение:

Ответ: 3024.

Задачи на сочетания

Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Это задача на сочетания.

Решение: Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

123 124 125 134 135 145

234 235 245

345

Ответ: 10.

Определение: Сочетанием из n элементов по k (kn) называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы).

Формула:

Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов из n?»

Пример 3. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение:

Ответ: 21.

ЗАДАНИЕ: Изучить теорию, составить конспект, решить задачи, отправить фото выполненной работы преподавателю.

ЗАДАЧИ для самостоятельного решения:

Задача 1. Сколькими способами можно составить расписание на один день, если в этот день предусмотрено 6 уроков по 6 разным предметам?

Задача 2. Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 10 человек?

Задача 3. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора? (слова могут не иметь смысла в русском языке).

Задача 4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 7, 9?

Задача 5. В соревнованиях высшей лиги по футболу участвуют 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?

Задача 6. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?

Задача 7. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?