8 класс Геометрия 26.11.20 Теория Площадь параллелограмма, треугольника трапеции.

26.11.2020г.

Геометрия

8 а/б класс. Ссылка на видеоурок https://youtu.be/lcEQemXqbf8

Тема урока: Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции.

В учебнике эту тему можешь прочитать на странице 124, п. 51, п. 52, п. 53.

Ссылка на электронный учебник https://multiurok.ru/files/uchebnik-po-geometrii-8-klass.html. (Пройди по ссылке, прокрути вниз, нажми на кнопку «скачать»).

Открой тетрадь и запиши число на полях и «Классная работа».

Ниже запиши тему урока.

Сегодня мы рассмотрим, как находить площадь параллелограмма, треугольника и трапеции. Разберем примеры решения задач по нахождению площадей.

Самые важные моменты теории – теоремы, свойства, следствия и примеры обязательно запиши в тетрадь!

Площадь параллелограмма

Н ачертим параллелограмм АВСD, из точки В проведем перпендикуляр ВH к стороне АD.

Сторону АD будем называть основанием, а перпендикуляр ВН – высотой параллелограмма.

Рассмотрим теорему для вычисления площади параллелограмма.

Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Докажем это утверждение. 

Дано: параллелограмм АВСD, АD – основание, ВН – высота.

Доказать: S = АD·ВН.

Д оказательство:

В данном параллелограмме проведем еще одну высоту СК к стороне АD. Получилась трапеция АВСК, состоящая из параллелограмма АВСD и треугольника DСК. С другой стороны эта трапеция составлена из прямоугольника ВСКН и треугольника АВН. Треугольники АВН и DСК – прямоугольные и равны по гипотенузе и острому углу, действительно, гипотенузы АВ и СD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы ВАН и СDК равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей АD. Значит, площади этих прямоугольных треугольников равны. Следовательно, площадь параллелограмма АВСD равна площади прямоугольника ВСКН. По теореме о площади прямоугольника S = ВС · ВН, а так как ВС = АD, то S = АD · ВН, т.е. площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. 

Что и требовалось доказать.

Решение задачи по теме урока

Решим задачу.

Задача:
Смежные стороны АD и АВ параллелограмма АВСD равны соответственно 32см и 26 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Д ля решения данной задачи из известного нам тупого угла, пусть это будет угол В, проведем высоту ВН и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник АВН. Угол АВН = 150° – 90° = 60°, тогда угол ВАН = 180° – (90° + 60°) = 30°. По свойству прямоугольного треугольника ВН равна половине гипотенузы АВ, т.е. ВН = 26/2 = 13 см. А площадь параллелограмма равна произведению основания АD на высоту ВН, S= 32 · 13 = 416 см2. 

Ответ: площадь параллелограмма равна 416 см2.

Теорема о площади треугольника

Теперь давайте познакомимся с теоремой о площади треугольника, запишем формулы и рассмотрим решение задачи на вычисление площади треугольника.

Начертим треугольник АВС, из точки С проведем перпендикуляр СH к стороне АВ.

Сторону АВ будем называть основанием, а перпендикуляр СН – высотой треугольника.

Рассмотрим теорему о площади треугольника:

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Докажем это утверждение.

Дан треугольник АВС, АВ – основание, СН – высота.

Нужно доказать:

Доказательство:

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС.

Треугольники АВС и DСВ равны по третьему признаку равенства треугольников (у них сторона ВС является общей, АВ = СD и АС = ВD как противоположные стороны параллелограмма), поэтому площади треугольников АВС и DСВ равны.

Следовательно, площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма АВDС, а площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, значит, площадь S треугольника АВС равна 1/2 АВ*СН. Что и требовалось доказать.

Отдохни 5 минут. Сделай гимнастику для глаз.

Продолжим.
У рассмотренной теоремы о площади треугольника есть два следствия.

  Следствия теоремы о площади треугольника

Одно касается площади прямоугольного треугольника, а второе – отношения площадей треугольников.

Следствие 1:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Таким образом, для вычисления площади прямоугольного треугольника применяют следующую формулу:

Следствие 2:

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

В геометрии есть еще одно утверждение относительно отношения площадей треугольников – это следующая теорема:

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Решим задачу:

Задача.
В треугольнике АВС угол С равен 45°, высота АD делит сторону СВ на отрезки СD = 8 см, DВ = 6 см.

Найдите площадь треугольника.

Для вычисления площади треугольника АВС необходимо знать длину высоты АD. Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD.

Он равнобедренный, поскольку его углы САD и DСА при основании АС равны. Действительно, угол САD как и угол DСА, он же угол С, тоже равен 45°=180° – (угол АDС + угол С)=180° – (90°+45°).

Так как треугольник АСD равнобедренный, то АD = СD = 8 см.

Площадь S треугольника АВС равна ½ ВС*АD, а ВС = СD + DВ = 8 + 6 = 14 см.

Подставив найденные величины в формулу, получим: площадь треугольника равна =56 см².

Иногда в геометрии встречаются задачи на вычисление площади треугольника, где даны все три его стороны.

При решении таких задач используют формулу Герона.

Герон Александрийский (I-II вв. н. э.) – древнегреческий инженер, физик, механик, математик, изобретатель.

При вычислении площади равностороннего треугольника используют формулу:

Площадь трапеции

Н ачертим трапецию АВСD, АD и ВС - основания трапеции, проведем перпендикуляр ВН к основанию АD.

Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание, называют высотой трапеции.

ВН – это высота трапеции.

Рассмотрим теорему о площади трапеции.

Теорема: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Докажем это утверждение. 

Дано: трапеция АВСD, АD и ВС – основания, ВН – высота.

Доказать: площадь трапеции АВСD будет равна S = ½ (АD + ВС) · ВН.

Д оказательство: проведем диагональ ВD, она делит трапецию на два треугольника АВD и ВСD. Значит, площадь трапеции АВСD будет равна сумме площадей этих треугольников.

В треугольнике АВD: АD является основанием, а ВH - высотой; в треугольнике ВСD: ВС – основание, проведем высоту DК. Площадь S треугольника АВD = 1/2 АD · ВН; площадь S треугольника ВСD = 1/2 ВС · DК. Так как ВН = DК, то площадь S треугольника ВСD = 1/2 ВС · ВН. Таким образом, площадь S трапеции АВСD = 1/2 АD · ВН + 1/2 ВС · ВН = 1/2 (АD + ВС) · ВН. 

Что и требовалось доказать.

 Решение задачи по теме урока

Решим задачу.

З адача: в равнобедренной трапеции АВСD∠В равен 135°, а высота ВH делит основание АD на отрезки АН = 3 см и НD= 9 см. Найдите площадь трапеции.

Решение: Так как ВН высота трапеции, то ∠В, равный 135°, делится на ∠АВН = 45° и ∠НВС = 90°. ∠А = 45°=∠АВН (т.к. в прямоугольном треугольнике АВН ∠А = 180° – (90° + 45°) = 45°). Следовательно, треугольник АВН равнобедренный и АН = ВН = 3 см. Проведем еще одну высоту нашей трапеции СК, которая разделит отрезок НDна два отрезка НК и КD, НК= НD – КD.

О трезки АН и КD равные, т.к. по условию трапеция равнобедренная, и равны 3 см. Тогда отрезок НК = 9 – 3 = 6см. Отрезки НК и ВС равны, как противоположные стороны прямоугольника. Таким образом, получаем нижнее основание АD = АН + НD = 3 + 9 = 12 см, а верхнее основание ВС = НК = 6 см, высота же ВН = 3 см. Подставим в формулу для вычисления площади трапеции все эти данные и получим S = ½ (6 + 12)·3 = 27 см2.

Итак, на этом уроке Вы познакомились с формулами площади, параллелограмма, треугольника и трапеции. Научились применять эти формулы для нахождения площади той или иной фигуры исходя из условия задачи.

Теперь откройте файл «Геометрия 26.11.20 Практикум. Площади» Разберите примеры решения задач по теме площади. А также решите самостоятельно предложенные задания.