823, 24,03,2020 "Решение задач на приложения определенного интеграла".

«Приложения определенного интеграла»

1. Задача о вычислении пути

Пример 1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой  = 2t+3t (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

S= (t)dt, (1)

Формула(1)

Решение.

1. t =0с; t = 5с.

2. По формуле (1) найдем путь, пройденный телом за 5 сек.

S= 2t+3t )dt = (t ) =150(м).

Ответ. S=150 м.

Пример 2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v =(6t +2t)м/с, второе – со скоростью v =(4t+5)м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение. Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 5 с.

S = 6 t +2t)dt = (2t ) =275(м)

S = 4 t+2)dt = (2t ) =75(м)

Таким образом, S= S - S =275-75=200(м).

2.Задача о вычислении работы переменной силы.

Работа A этой силы F вычисляется по формуле:

А=F*s, (2)

Где S – перемещение, м.

Если F – сила упругости, то по закону Гука

F=kx, (2*)

где x- величина растяжения или сжатия,

k – коэффициент пропорциональности.

Работа переменной силы вычисляется по формуле (4)

A= (3)

Пример. Сила упругости F пружины, растянутой на 1 =0,05м, равна 3H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 1 = 0,1м?

Решение

1. Определим коэффициент пропорциональности k.

Подставим формулу (2*) F=3 H, x = 0,05 м:

3=k*0,0,5, т.е. k=60, следовательно, F=60x=f(x).

1. Подставив F=60x в формулу (3), найдем значение работы переменной силы, полагая, что а=0; b=0,1:

A= =0,3Дж

Ответ. А = 0,3Дж.

1. Задача о силе давления жидкости.

Согласно закону Паскаля величина P давления жидкости на горизонтальную площадку вычисляется по формуле

P=gphS, (4)

Где g – ускорение свободного падения в м/с ;

p – плотность жидкости в кг/м ;

h– глубина погружения площадки в м;

S – площадь площадки в м ;

Сила давления жидкости на вертикальную пластину вычисляется по формуле (5)

P=g . (5)

Пример.

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м ), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4мx0,7м.

Решение

1. Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f(x)=0.7x, где x[0;0,4], поэтому пределы интегрирования а=0 и b=0,4.

2. Для нахождения силы давления воды на стену воспользуемся формулой (5).

P=g =56g549H

g=9,8 м/с ускорение свободного падения.

Самостоятельно решите задачи:

1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой =9t²-2t-8 (м/с). Найти путь, пройденный телом за 3 секунды от начала движения.

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v =(2t +4t)м/с м/с, второе – со скоростью v =(3t+2)м/м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?

3. Сила упругости F пружины, растянутой на 1 =0,02м, равна 2H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 1 = 0,05м?

4. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 нужна сила 10 Н.

Таблица 1