831, 16.04.2020 "Основные приемы решения тригонометрических уравнений."

Основные приемы решения тригонометрических уравнений.

1.1 Метод разложения на множители

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

,

то всякое решение уравнения

(1.1)

является решением совокупности уравнений:

(1.2).

Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (1.2) является решением уравнения (1.1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений совокупности (1.2) могут не входить в область определения функции . Поэтому, при решении тригонометрического уравнения необходимо учитывать область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые в нее входят.

При решении тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители очень часто необходимо преобразовать сумму или разность тригонометрических функций в произведение.

Пример 1.1. Решите уравнение

.

Решение.

Ответ: ; ; .

1.2 Метод замены переменной

Данный метод позволяет с помощью введения новой переменной, свести решение тригонометрического уравнения к решению алгебраического уравнения.

Пример 1.2. Решите уравнение

Решение.

Замена: ,

t₁ = -1/2, t₂=4/3

, .

Ответ: ,

1.3 Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени

Решение многих тригонометрических уравнений, содержащих функции в четных степенях, основано на применении формул понижения степени:

Очень часто эти формулы применяются в виде:

Пример 1.3. Решите уравнение

.

Решение

; ;

Ответ: .

1.4. Уравнения, однородные относительно синуса и косинуса

Определение. Уравнение вида , где называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Определение. Уравнение вида , где называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Однородные уравнения первой степени.

Чтобы решить однородное уравнение вида

, где

нужно обе его части разделить на или , получив простейшее тригонометрическое уравнение

или .

В случае, когда один из коэффициентов, а либо b, равен нулю, однородное уравнение первой степени сводится к простейшему тригонометрическому уравнению

или .

Однородные уравнения второй степени.

I. Однородное уравнение второй степени

, где ,

делится на либо на и приводится к квадратному уравнению

или ,

которые решаются методом замены переменной, полагая или .

II. Если , , уравнение имеет вид:

,

уравнение делится на либо на и приводится к виду:

или .

III. Если , , уравнение имеет вид:

.

Решается методом разложения на множители, и сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения и однородного уравнения первой степени:

IV. Если , , уравнение имеет вид:

.

Решается аналогично случаю III:

Пример 1.4. Решите уравнение

.

Решение

Разделим на обе части уравнения (т.к. не является решением уравнения, то без потери корней можем считать ):

; ; .

Ответ: .

Пример 1.5. Решите уравнение

Решение.

Разделив обе части уравнения на , получим уравнение:

.

Замена:

Ответ: , .