Методы и приемы решений тригонометрических уравнений

МБОУ «СОШ им. Героя Советского Союза А. М. Селютина с. Михайловское»

Методы и приемы решений тригонометрических уравнений

Учитель математики: Бекмурзова С. Т.

10 класс

Содержание .

• Определение тригонометрии как науки.
• Основные понятия для введения в раздел.

• Виды тригонометрических уравнений
• Методы решения

ЦЕЛЬ :

• Повторить решение тригонометрических

уравнений.

• 1. Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
• 2. Различать типы тригонометрических уравнений и знать способы их решений.
• 3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов.

• Выделение основных проблем при решении

этих уравнений:

• Потеря корней.
• Посторонние корни.
• Отбор корней.

Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять),

то есть измерение треугольников) — раздел математики,

в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613),

а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре .

Развитие тригонометрии началось с этих великих ученых!

Жозеф Луи

Лагранж

Фалес

Архимед

В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось.

Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса и отложим от горизонтальной оси угол

(если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим Р.

у

х

Повторим значения синуса и косинуса

у π/2 90°

1

120° 2π/3 π/3 60°

135° 3π/4 π/4 45°

150° 5π/6 1/2 π/6 30°

180° π -1 0 1 0 0° x

- 1/2 ½ 2π 360 (cost)

210° 7π/6 - 1/2 11π/6 330° [-π/6]

225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4]

240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3]

-1

270° 3π/2 [-π/2]

(sint)

Арккосинус

Арккосинусом числа а называется

у

такое число (угол) t из [0;π], что

cos t = а .

Причём, | а |≤ 1 .

π/2

arccos( - а )

arccos а = t

х

0

π

arccos( - а ) = π- arccos а

1

-1

а

-а

Примеры:

1)arccos(-1)

= π

2)arccos( )

Арксинус

Примеры:

Арксинусом числа а называется

такое число (угол) t из [-π/2;π/2] ,

что sin t = а .

Причём, | а |≤ 1 .

у

π/2

1

arcsin а = t

а

х

- а

arcsin( - а )

arcsin( - а )= - arcsin а

-1

-π/2

Арктангенс

а

у

Арктангенсом числа а называется

такое число (угол) t из (-π/2;π/2),

что tg t = а .

Причём, а Є R.

π/2

arctg а = t

0

х

arctg( - а ) = - arctg а

arctg( - а )

-π/2

- а

1) arctg√3/3 =

π/6

Примеры:

2) arctg(-1) =

-π/4

Арккотангенс

у

Арккотангенсом числа а называется

такое число (угол) t из (0;π),

что c tg t = а .

Причём, а ЄR .

- а

а

arcctg а = t

arcctg( - а )

π

0

х

arcctg( - а ) = π – arcctg а

Примеры:

1) arcctg(-1) =

3π/4

2) arcctg√3 =

π/6

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

1.cost = а , где | а| ≤ 1

или

1) cost=0

t = π/2+πk‚ kЄZ

Частные случаи

2) cost=1

3) cost = -1

t = 2πk‚ kЄZ

t = π+2πk‚ kЄZ

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

2. sint = а, где | а |≤ 1

или

Частные случаи

1) sint=0

t = πk‚ kЄZ

2) sint=1

3) sint = - 1

t = π/2+2πk‚ kЄZ

t = - π/2+2πk‚ kЄZ

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

3. tgt = а, а ЄR

t = arctg а + πk‚ k ЄZ

4. ctgt = а, а ЄR

t = arcctg а + πk‚ kЄZ

При каких значениях х имеет смысл выражение:

1.arcsin(2x+1)

2.arccos(5-2x)

1) -1≤ 2х+1 ≤1

-2≤ 2х ≤0

-1≤ х ≤0

Ответ: [-1;0]

2) -1≤ 5-2х ≤1

-6≤ -2х ≤ -4

2≤ х ≤3

Ответ: [2;3]

4.arcsin(4x²-3x)

3.arccos(x²-1)

-1≤4х²-3х≤1

4х²-3х ≥ -1

4х²-3х ≤ 1

4х²-3х-1 ≤ 0

Ответ:

-1≤ х²-1 ≤ 1

0 ≤ х² ≤2

Ответ:

Виды тригонометрических уравнений

1.Сводимые к квадратным

Решаются методом введения новой переменной

a∙sin²x + b∙sinx + c=0

Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда a∙p² + b∙p + c = 0

Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.

Виды тригонометрических уравнений

2.Однородные

1)Первой степени:

Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной .

a∙sinx + b∙cosx = 0

Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx ). Получим: простое уравнение

a∙tgx + b = 0 или tgx = m

Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0.

Решение: Разделим обе части уравнения на cosx .

Получим

Ответ:

Виды тригонометрических уравнений

2) Однородные уравнения второй степени:

Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой переменной .

a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0

Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение:

a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 5 cos  2  x  = 2.

    Р е ш е н и е .  3sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 5 cos  2   x  = 2sin  2   x  + 2cos  2   x  ,

                              sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 3 cos  2   x  = 0 ,

                             tg 2   x  + 4 tg  x  + 3 = 0 ,  отсюда   y   2  + 4 y  +3 = 0 ,

                             корни этого уравнения:   y 1  =  - 1,   y 2  =  - 3,  отсюда

                             1)   tg  x  = –1,  2)   tg  x  = –3,

Ответ:

Виды тригонометрических уравнений

3. Уравнение вида:

А sinx + B cosx = C. А, В, С  0

   sin  x  + cos  x  = 1 .

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения

влево:  

                        sin  x  + cos  x  – 1 = 0 ,

Виды тригонометрических уравнений

4. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной

тригонометрической подстановки

Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента.

А sinx + B cosx = C

Проверка

Если ,

- не верно, значит

, не является корнями исходного уравнения

Ответ:

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уровнения.

Формулы .

Универсальная подстановка.

х   + 2  n; Проверка обязательна!

Понижение степени.

= (1 + cos2x ) : 2

= (1 – cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

a cosx +b sinx заменим на C sin(x+  ), где

 - вспомогательный аргумент .

cos  =

sin  =

Решение простейших уравнений

2) cos(x+π/3) = ½

• tg2x = -1

2x = arctg (-1) + πk, kЄZ

x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ

x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ

2x = -π/4 + πk, kЄZ

x = -π/8 + πk/2, kЄZ

x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.

Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

3) sin(π – x/3) = 0

упростим по формулам приведения

sin(x/3) = 0

частный случай

x/3 = πk, kЄZ

x = 3πk, kЄZ.

Ответ: 3πk, kЄZ.

Эти правила помогут при решении!

• Увидел квадрат – понижай степень.

• Увидел произведение – делай сумму.

• Увидел сумму – делай произведение.

1.Потеря корней:

• делим на g(х).
• опасные формулы (универсальная подстановка).

Этими операциями мы сужаем область определения.

2. Лишние корни:

• возводим в четную степень.
• умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя).

Этими операциями мы расширяем область определения.

Потеря корней, лишние корни.

Спасибо

за

внимание!