916/з, 3-я пара: "Решение уравнений и неравенств."

«Решение уравнений и неравенств».

Иррациональные уравнения, примеры решения:

Показательные уравнения и неравенства, примеры решения:

Пример. (единицу можно представить, как любое число в нулевой степени), поэтому (равны основания 7=7, значит равны степени 3х1=0), получаем линенйное уравнение , , . Ответ: .

Пример. , аналогично примепу 1.1 единицу заменяем, как любое число в нулевой степени: (равны основания 5=5, значит равны степени), поэтому

, решаем квадратное уравнение любым удобным способом, получаем корни х=2 и х=3. Ответ: 2;3.

Логарифмические уравнения и неравенства, примеры решения:

Пример . Решите уравнение log₅(x – 2) = 1

Решение: Переменная х встречается лишь в одном log и стоит в его аргументе, значит находить ОДЗ не надо.
log₅(x – 2) = 1  x – 2 = 5¹  x – 2 = 5  x = 7. Ответ: 7.

Пример. Решите уравнение:

Решение: Это простейшее логарифмическое уравнение, поэтому нет необходимости найти ОДЗ, потому что 3х – 10 будет выполняться автоматически. Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – число. Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию 0,5 а затем просто сбросить логарифмы. Так как −3 = −3*1 = -3*log_0,5 0,5=log_0,5 0,5⁻³ тогда уравнение примет вид: log_0,5 (3x − 1) = log_0,5 0,5⁻³

3x − 1 = 0,5⁻³

Все десятичные дроби переводите в обычные, когда вы решаете логарифмическое уравнение.

Заметим что 0,5^-3 = (1/2) ⁻³ = (2^-1)^-3 = 2³ = 8 и получим

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3 Ответ: 3.

Пример. Решить неравенство:

Решение. В левой части log , а в правой число. Приведем к виду log_af(x) ≥ log_ag(x). Для этого число в правой части представим в виде логарифма с тем же основанием, что логарифм в левой части, т.е.

применили

Итак, имеем неравенство:

Основание логарифмов равны и меньше единицы, По схеме (2) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее. Имеем систему:

 Ответ: 

Задания для самостоятельного решения:

1. Решить уравнения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

1. Решить неравенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .