931, 06.04.2020 "Пирамида, её элементы, виды пирамид".

Тема: Пирамида, ее элементы, виды пирамид.

Цель: познакомить обучающихся с геометрической фигурой - пирамида, изучение элементов пирамиды (основание, вершина, боковые ребра, высота, тетраэдр), ввести историческую справку.

Лекционный материал

Историческая справка:

Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис» в смысле ребра правильной пирамиды.

Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - огонь. В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид.

Сейчас же пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основание пирамиды; точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания – боковыми ребрами.

Э лементы пирамиды

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины ^[3];

• боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

• боковые ребра — общие стороны боковых граней;

• вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

• основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Виды пирамид

Пирамиды в зависимости от числа сторон основания подразделяются на треугольные (они называются тетраэдрами), четырехугольные, пятиугольные и т.д.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Параллельные грани называются основаниями, а отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями, называется высотой усеченной пирамиды.

Правильную пирамиду или правильную призму не следует путать с правильным многогранником. Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны (например, куб или правильный тетраэдр).

Боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобочными трапециями и многоугольники оснований подобны.

Пирамида называется правильной, если:
1) основание есть правильный многоугольник,
2) высота проходит через центр этого многоугольника.

Пирамиду можно получить, если пересечь многогранный угол плоскостью, имеющей общие точки со всеми ребрами.

В правильной пирамиде радиусы правильного многоугольника, лежащего в основании, являются проекциями боковых ребер, поэтому эти ребра равны, а следовательно, равны все боковые грани, являющиеся равнобедренными треугольниками.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).

Треугольная пирамида называется тетраэдром.

Например, у пирамиды  основание – А₁А₂…An, вершина  - S, боковые ребра  - SА₁,SА₂…,  боковые грани -  ∆SА₁А₂, SА₁An. (рис. 1)

Рисунок 1

Свойства:

Рассмотрим первый случай пирамиды, при котором она имеет ребра одинаковой длины:

• Вокруг основания такой пирамиды можно описать окружность. Если спроецировать вершину такой пирамиды, то её проекция будет находится в центре окружности.

• Углы при основании пирамиды у каждой грани одинаковы.

• При этом достаточным условием к тому, что вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а так же считать, что все ребра разной длины, можно считать одинаковые углы между основанием и каждым ребром граней.

Если Вам попалась пирамида, у которой углы между боковыми гранями и основанием равны, то справедливы следующие свойства:

• Вы сможете описать окружность вокруг основания пирамиды, вершина которой проецируется точно в центр.

• Если провести у каждой боковой грани высоты к основанию, то они будут равной длины.

• Чтобы найти площадь боковой поверхности такой пирамиды, достаточно найти периметр основания и умножить его на половину длины высоты.

• S_бп = 0,5P_ocнH.

При составлении конспекта, ответьте на следующие теоретические вопросы:

1.Какой многогранник называют пирамидой? Назовите основные элементы пирамиды, дайте им определение.

2. Приведите среди окружающих вас предметов те, которые имеют форму пирамиды, усеченной пирамиды.

3. Сколько вершин, ребер и граней имеет: а) n-угольная пирамиды, б) n-угольная усеченная пирамиды?

4. Сколько плоских, двугранных и многогранных углов: а) в тетраэдре, б) в четырехугольной пирамиде, в) в усеченной треугольной пирамиде.

5. Дайте определение правильной пирамиды, усеченной пирамиды и прямоугольной. Назовите их основные элементы.

6.Всегда ли правильная пирамида имеет: а) ось симметрии, б) плоскость симметрии?

7. Рассмотрите основные свойства пирамиды.

8. Используя развертку Тетраэдра, лист А4 и клей(скотч), реализуйте модель пирамиды.

9. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой: а) две смежные боковые грани перпендикулярны основанию, б) две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию, в) три боковые грани перпендикулярны основанию?