941, 21.03.2020 "Однородные тригонометрические уравнения".

Уравнение COSx=a

Уравнение SINx=a

Уравнение tgx=a

ТЕМА: Однородные тригонометрические уравнения

Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов: 

a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)
либо 

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0 (однородное уравнение второй степени).

 Алгоритм решения однородного уравнения первой степени a sin x + b cos x = 0:

  Пример: Решим уравнение 2 sin x – 3 cos x = 0. 

Решение.

Разделим обе части уравнения на cos x:

   2 sin x           3 cos x             0
————  –  ————  =  ———
     cos x            cos x             cos x

Получаем:

2 tg x – 3 = 0

2 tg x = 3

           3
tg x = —
           2

                3
x = arctg — + πn
                2

Пример решен.

Алгоритм решения однородного уравнения второй степени

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0.

Условие: в уравнении должно быть выражение вида a sin² x. Если его нет, то уравнение решается методом разложения на множители.

Пример: Решить уравнение sin² x – 3 sin x cos x + 2 cos² x = 0. 

Решение.

Разделим обе части уравнения на cos² x:

   sin² x         3 sin x cos x          2 cos² x             0
———  –  ——————  +  ————  =  ———
 cos² x             cos² x                  cos² x           cos² x 

Получаем:

tg² x – 3 tg x + 2 = 0.

Вместо tg x введем новую переменную z и получим квадратное уравнение:

z² – 3z + 2 = 0.

Найдем корни:

z₁ = 1

z₂ = 2.

Значит:

либо tg x = 1, либо  tg x = 2.

Сначала найдем x при tg x = 1:

x = arctg 1 + πn.

x = π/4 + πn.

Теперь найдем x при tg x = 2:

x = arctg 2 + πn.

Ответ: x = π/4 + πn;  x = arctg 2 + πn.

ЗАДАНИЕ: Изучить теорию, законспектировать, решить уравнения:

1) 5 sin x – 2 cos x = 0. 

2) 4 cos x  + 3 sin x  = 0. 

3) sin² x – 2 sin x cos x - 3 cos² x = 0. 

4) sin² x + 4 sin x cos x - 5 cos² x = 0.