Алгебраическая сумма рациональных чисел с разными знаками

Основные определения

Целые числа — это множество чисел, которые состоят из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Отрицательные целые числа — это целые числа со знаком «минус». Они всегда меньше нуля. Примеры целых отрицательных чисел: -1, -945, -20.

Положительные целые числа — это целые числа со знаком «плюс». Они всегда больше нуля. Примеры положительных целых чисел: 11, 500, 1387.

У каждого положительного числа есть число-близнец, которое отличается только тем, что перед ним стоит знак минус. Такие числа называются противоположными.

Противоположные числа не равны друг другу, но у них есть общее — модуль. Модуль у противоположных чисел одинаковый: у положительного числа он равен самому числу, а у отрицательного — противоположному, то есть положительному. Например:

• ∣8∣ = 8, ∣-8∣ = 8.

Действительные числа — это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной десятичной дроби.

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль.

Правило сложения чисел с разными знаками

Положительное число можно рассматривать как доход, а отрицательное — как расходы или долг. Чтобы понять, сколько мы заработали или потратили, нужно смотреть на модули этих чисел.

Например, родители выдали триста рублей на карманные расходы. Если в конце недели у нас осталось немного денег — значит расходов было меньше, чем дохож. А если нам пришлось попросить еще 50 рублей на наклейки — расходы привысили доход. Если же расходы равны доходам, то у нас будет нулевой остаток.

А теперь сформулируем правило сложения чисел с разными знаками.

Это правило сводит сложение чисел с разными знаками к вычитанию из большего положительного числа меньшее число. В результате сложения положительного и отрицательного числа может получиться: положительное число, отрицательное число или нуль.

Вот, как выглядит эта последовательность на примере 2 + (-6) = -4:

Повторим еще раз. Чтобы сложить числа с разными знаками:

• из большего модуля вычесть меньший модуль;
• в результате поставить знак слагаемого с большим модулем.

Алгоритм сложения чисел с разными знаками справедлива для целых чисел, для рациональных чисел и для действительных чисел.

Примеры сложения чисел с разными знаками

Сложение чисел с разными знаками требует внимательности и последовательности. Рассмотрим примеры по правилу выше:

Пример 1. Сложить числа -8 и 1.

Как решаем:

Нам нужно сложить числа с разными знаками. Выполним все шаги по правилу сложения положительного и отрицательного числа.

1. Сначала найдем модули слагаемых, они равны 8 и 1 соответственно.
2. Модуль числа -8 больше, чем модуль числа 1. Запомним знак минус. Теперь от большего модуля отнимаем меньший модуль: 8 - 1 = 7.
3. Осталось поставить знак минус перед полученным числом, получаем ответ: -7. На этом сложение чисел с разными знаками завершено.

Ответ: (-8) + 1 = -7.

Пример 2. Сложить положительное число  и отрицательное число -1,25.

Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, которые не являются целыми, их следует представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

Как решаем:

1. Представим числа в виде обыкновенных дробей. Для этого выполним переход от смешанного числа к неправильной дроби:  , и переводим десятичную дробь в обыкновенную:
2. Теперь можно воспользоваться правилом сложения чисел с разными знаками. Модули складываемых чисел равны 17/8 и 5/4. Чтобы нам было удобнее считать, приведем дроби к общему знаменателю — получаем 17/8 и 10/8.
3. Сравним обыкновенные дробей 17/8 и 10/8. Так как 17>10, то . Это значит, что слагаемое со знаком плюс имеет больший модуль, поэтому запоминаем знак плюс.
4. Теперь из большего модуля вычитаем меньший, то есть, выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: Осталось перед полученным числом поставить знак плюс, получаем:  , то есть 7/8. На этом сложение чисел с разными знаками завершено. Краткая запись решения выглядит так:

Пример 3. Чему равна сумма чисел  и  ?

Как решаем:

Замечаем, что у складываемых чисел разные знаки, а их модули равны. Значит эти числа являются противоположными, а сумма противоположных чисел равна нулю.

Получается вот так: 

Ответ: 0.

Важно помнить, что при сложении действительных чисел с разными знаками результат можно записывать не в виде бесконечной десятичной дроби, а в виде числового выражения, которое содержит корни, степени, логарифмы и прочее.

• Например, результат сложения двух чисел с разными знаками -1 и π записывается так: π - 1.