Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения

Вначале была задача. Задача привела к уравнению. И решение уравнения стало задачей. Так можно было бы символически описать историю уравнения.

Путь от задачи к уравнению может быть очень разным.

Работа с уравнениями разделяется на несколько этапов.

Выбор и обозначение неизвестных. Составление уравнения, описывающего и моделирующего поставленную задачу, обычно начинается с выбора и обозначения неизвестных. При этом стремятся сократить число неизвестных, найти для них удобные и понятные обозначения.

Составление уравнения. В ходе анализа задачи составляются выражения с неизвестными, которые можно приравнять друг другу, исходя из заданных условий.

Решение уравнения. Под решением уравнения понимается процесс или действие для нахождения его корней.

Исследование уравнения и его решений. В исследование уравнения могут включаться различные вопросы о решении уравнений. Первые построенные уравнения были алгебраическими.

Алгебраическим уравнением называют уравнение, которое равносильными преобразованиями может быть приведено к уравнению вида -многочлен. Его степень называют степенью уравнения. Корни многочлена Р — это и есть корни исходного уравнения.

Простейшие сведения о корнях алгебраических уравнений.

1. Линейное уравнение ах = b при а ≠ 0 имеет единственное решение .

2. Формулы для корней уравнений второй степени (квадратных уравнений) требуют извлечения квадратного корня из некоторого выражения, составленного из коэффициентов многочлена — его дискриминанта D. Если мы интересуемся действительными корнями, то они существуют лишь при D0. При D0 формулы дают два разных корня, при D=0 - корень единственный. При D

3. Теорема Безу. Если х=а является корнем многочлена f(х), то многочлен делится на двучлен х-a: f(х) = (х - a)g(x).

4. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Пусть .— несократимая дробь, являющаяся корнем многочлена с целыми коэффициентами. Тогда числитель m есть делитель свободного члена, а знаменатель n — делитель старшего коэффициента многочлена. В частности, всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами есть делитель его свободного члена.

5. .Действительные корни многочлена. Всякий многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень. Для того чтобы квадратный трехчлен имел действительные корни, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен.

6. Комплексные корни многочлена (теорема Гаусса — основная теорема алгебры). Всякий многочлен (отличный от постоянной) имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие. Всякий многочлен раскладывается на линейные множители с комплексными коэффициентами.

1. Решение уравнения в радикалах. Для всякого многочлена не выше четвертой степени можно указать формулу, выражающую корни многочлена через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.

Для уравнений пятой степени и выше таких общих формул не существует.

1. Построение циркулем и линейкой. Геометрические построения с использованием циркуля и линейки при помощи метода координат сводятся к решению алгебраических уравнений. Геометрическое построение возможно в тех и только в тех случаях, когда корни этих уравнений выражаются через их коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения квадратных корней.