Алгоритм нахождения экстремумов функции

1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найти производную функции f '(x).

3. Найти критические точки функции y = f (x), т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f '(x) обращается в нуль или не существует.

4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак производной f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции y = f (x).

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Помни: критическая точка x₀ есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f '(x)f '(x)0, и точка максимума - в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой x₀, знак производной не меняется, то в точке x₀ функция экстремума не имеет.

6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

7. Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.

____________________________________________________________________________

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f(x) = x³–3x² и найти ее промежутки монотонности.

Решение:

1) Функция определена для всех R. Найдем производную: f '(x)=3x²–6x.

2) Из уравнения 3x²–6x = 3x(x–2) = 0 получим критические точки функции x₁=0 и x₂=2.

3) Так как при переходе через точку x₁=0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

4) При переходе через точку x₂ =2 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точке x₂ = 2 у функции минимум.

5) Составим таблицу:

6) Таким образом, данная функция в промежутке отx 0 возрастает, в промежутке от 0 x 2 убывает, а в промежутке от 2 x опять возрастает.

Ответ: (0; 0) – точка максимума, (2; -4) – точка минимума;

функция возрастает (;0] и [2; +), функция убывает [0; 2].

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f(x) = и найти ее промежутки монотонности.

Решение:

1) Функция определена для всех R, кроме

2) Найдем производную: f '(x)= .

3) Заметим, что производная не обращается в ноль и отрицательна для всех R, кроме . Значит, точек экстремума нет, и функция является убывающей на всей области определения.

4) Таким образом, данная функция убывает на промежутках:

x x2 и 2x + .