Арифметические основы работы компьютера. Системы счисления.

СПБ ГБПОУ «АКАДЕМИЯ УПРАВЛЕНИЯ ГОРОДСКОЙ СРЕДОЙ, ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВА И ПЕЧАТИ»

Конспект урока № 9

по дисциплине «Информатика»

«Арифметические основы работы компьютера.

Системы счисления.»

Курс I

Группы 9А-11, 9С-13

Разработчик:

преподаватель информатики

Марченкова Ольга Андреевна

Санкт-Петербург

2018 г

Цели урока:

• Познакомить обучающихся с понятием система счисления, развитием систем счисления от буквенных до позиционных.

• Расширение понятийной базы о системах счисления за счет включения в нее новых элементов;

• Формировать у обучающихся навыки и умения переводить числа из десятичной системы счисления в любую другую и наоборот;

• Усвоить и расширить знания методов, приёмов и подходов к решению заданий на системы счисления.

Задачи урока:

- обучающие

• познакомить обучающихся с историей возникновения и развития систем счисления, дать классификацию систем счисления.

• ввести новые понятия по теме урока,

• дать представление о позиционной и непозиционной системах счисления, указать на основные преимущества и недостатки этих систем счисления.

-развивающие

• развивать познавательный интерес обучающихся,

• развивать умения анализировать, сравнивать, выделять главное, приводить примеры,

• развитие внимания, восприятия, познавательного интереса у обучающихся, умения обобщать и сравнивать;

• формирование ключевых компетенций, а также активизация творческой деятельности обучающихся.

-воспитательные

• научить воспринимать компьютер как инструмент информационной деятельности человека,

• воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие,

• научить отстаивать свою точку зрения.

Ход урока:

1. Орг. момент. (2 мин.)

Приветствие студентов, настрой их на дальнейшую работу. Получение информации об отсутствующих студентах.

2. Сообщение темы и целей урока. (1 мин.)

(Для урока подготовлена презентация с помощью Power Point с целью визуализации информации по ходу изложения материала). Слайд 1

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами - они с нами везде. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений учениками первых классов на бумаге, заканчивая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах. Итак, тема нашего урока «Арифметические основы работы компьютера. Системы счисления.»

3. Объяснение нового материала. (45 мин.)

Слайд 2. Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Цель создания системы счисления - выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы будем называть цифрами.

Слайд 3. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.

В непозиционных СС от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Такие системы являются более ранни­ми в историческом плане, например, общеизвестная римская нумерация, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

Слайд 4. Римские цифры выглядят так:

, , , , , , .

Мы пользуемся этой системой для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то меньшая вычитается из большей. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз.

Пример

VI =5+1=6 IV=5-1=4

Слайд 5. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления. Они являются результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления. В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, поэтому запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Слайд 6. Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 275, 2 означает две сотни, 7 – семь десятков, 5 – пять единиц.

В настоящее время позиционные системы счисления более широко распространены, чем непозиционные. Это объясняется тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков.

Слайд 7. Например

MCMXCIII= 1000+(-100+1000)+(-10+100)+5+1+1+1=1998

Т.е. в непозиционной СС мы использовали 8 символов, а в позиционной СС всего 4.

Еще более важное преимущество позиционных систем – это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Различие между позиционной и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа.

Например, для чисел 125 и 274, 1 меньше 2, поэтому число 274 больше, чем число 125.

В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Слайд 8. Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при используют n первых арабских цифр, а при к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Слайд 9. Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу.

Например:

Слайд 10. Развернутая форма числа - это запись, которая представляют собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Развернутой формой записи числа называется запись в виде

Здесь – само число, q – основание системы счисления, – цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов дробной части числа.

Слайд 11. Пример. Получить развернутую форму десятичного числа.

6293₁₀=6·10³ + 2·10² + 9·10¹ + 3·10⁰

Слайд 12. Двоичная система счисления

ДвоичнаяСС - это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичная система счисления используется в вычислительной технике, а двоичные наборы приняты за средство кодирования информации. В компьютере имеются только два устойчивых состояния работы микросхем, связанных с прохождением электрического тока через данное устройство (1) или его отсутствием (0). Говоря точнее, (1) кодирует высокое напряжение в схеме компьютера, а (0) – низкое напряжение

В таблице приведены некоторые числа, представленные в различных СС.

Слайд 13. Любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций. В основе правил арифметики лежат таблицы сложения и умножения однозначных чисел.

Например, таблица сложения и умножения в двоичной СС выглядит так:

Слайд 14. При сложении необходимо помнить, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в старший.

При вычитании двоичных чисел в случае необходимости занимается 1 из старшего разряда, которая равна двум единицам младшего разряда.

Сложить: 1110₂ + 101₂ = 10011₂

Выполнить вычитание: 1110₂ - 101₂ = 1001₂

Слайд 16,17. САМИ: 110₂ + 110₂=1100₂

10011₂ +11₂ = 1110₂

10110₂ – 111₂=1111₂

100₂ –1₂ = 11₂

Слайд 18. Перевод целых чисел из двоичной позиционной СС в десятичную систему счисления

Для перевода используем развернутую формулу. При переводе двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

A₁₀ = a_n-1 · 2^n-1 + a_n-2· 2^n-2 +...+ a₁· 2¹ + a₀· 2⁰

Слайд 19. Пример. Перевести числа из двоичной системы в десятичную систему.

Слайд 20. САМИ

Резерв

11101000₂= 1·2⁷ + 1·2⁶ + 1·2⁵ +0·2⁴ + 1·2³+0·2²+0·2¹+0·2⁰=232₁₀

Слайд 21. Перевод целых десятичных чисел в другие системы счисления

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Слайд 22. Перевести число 13₁₀ в двоичную систему счисления.

1. На первом шаге разделим число на основание двоичной системы, то есть на 2,

2. Далее будем последовательно выполнять деление данного числа, пока не получим неполное частное, меньше делителя;

3. Записать все остатки от деления в обратном порядке и получим искомое двоичное число.

13₁₀ = 1101₂

Слайд 23-25.

22₁₀=10110₂

Слайд 26. 77₁₀ = 1001101₂

77 2

6 38 2

17 2 19 2

16 18 18 9 2

1 18 1 8 4 2

0 1 4 2 2

0 2 1

0

77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)

1001101 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

37₁₀ = 100101₂

Резерв

315₁₀ = 473₈= 13В_16, где 11₁₀= В₁₆

97₁₀ = 1100001₂

247₁₀ = 11110111₂

Слайд 27-28. Переведите следующие числа из двоичной системы счисления в десятичную:

1) 1000 = 8 2) 0001=1 3) 0110=6

4) 0011=3 5) 0101=5 6) 0111=7

7) 0100=4 8) 1001=9 9) 0010=2

Ответ

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Полученные числа впишите в соответствующие клетки квадрата.
При правильных ответах у Вас должен получиться магический квадрат (сложите числа в каждой строке, каждом столбце и каждой диагонали - суммы должны быть одинаковыми)

Слайд 29-30. Восьмеричная система счисления

Это система, в которой для записи чисел используются восемь цифр.

Основанием двоичной системы счисления является число 8.

Слайд 31.

Слайд 32-33. Перевод числа из восьмеричной системы в десятичную систему счисления

10011010010₂ = 010 011 010 010 = 2322₈

САМИ

1000110 = 1 000 110 = 1068

1100101100110100₂ = 145464₈

4. Этап систематизации, обобщения изученного. (15 мин.)

– Теперь вы умеете переводить числа десятичной СС в двоичную СС и обратно. Давайте решим несколько примеров на закрепление ваших знаний.

Примеры для самостоятельного решения и закрепления изученного материала.

Задание № 1.

Заполнить таблицу до конца. Слайд 34

Слайд 35. Задание № 2. Определить в какой системе счисления ведется рассказ:

«Необыкновенная девочка»
Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила –
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно…
Но станет все сейчас обычным,
Когда поймете мой рассказ

(А.Н.Стариков)

Решение:

Выпишем упомянутые в стихотворении числа: 1, 10, 100, 101,1100. Все встречаемые цифры – 0 или 1. Если предположить, что зашифровано разложение по степеням двойки, то получим:

«Ей было тысяча сто лет» – 1100 = 1 ^. 2³ + 1 ^. 2² = 8 + 4 = 12 лет
«Она в сто первый класс ходила» – 101 = 1 ^. 2² + 1 = 4 + 1 = 5 класс
«…пыля десятком ног» – 10 = 21 = 2 ноги
«С одним хвостом, зато стоногий» – 1 = 2⁰ = 1, 100 = 2² = 4 ноги
и т.д. разобранное число 10.

Ответ: двоичная с.с.

Слайд 36. Задание № 3

Русская поговорка.

Здесь зашифрована известная русская поговорка. Прочитайте ее, двигаясь с помощью двоичных цифр в определенной последовательности.

(Ответ: ЧТО ПОСЕЕШЬ, ТО И ПОЖНЕШЬ)

Слайд 37. Задание 4.

Переведите координаты точек в десятичную систему счисления. Отметьте точки на координатной плоскости и определите получившийся рисунок.

Получившийся рисунок

5. Закрепление пройденного. (15 мин.)

Работа в группах

Все студенты делятся на 5 групп

Задание для группы 1

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 1101₂ 100₂ 1010₂ 1011₂

2. Сколько больших планет вращается вокруг солнца?

Подсказка: 1001 2

Ответ 9

Задание для группы 2

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 1011₂ 1100₂ 100₂ 1000₂ 1110₂

2. Сколько ног у клешей7

Подсказка: 1000

Ответ 8

Задание для группы 3

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 1101₂ 100₂ 1010₂ 1011₂

2. Сколько вершков в аршине?

Подсказка: 10000 2

Ответ 16

Задание для группы 4

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 1100₂ 100₂ 101₂ 1011₂

2. Сапоги какого размера носил дядя Степа?

Подсказка: 101101 2

Ответ 45

Задание для группы 5

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово: 10₂ 1011₂ 1000₂ 1110₂ 10₂ 1011₂

2. Сколько глаз у пиявки?

Подсказка: 1010 2

Ответ 10

6. Подведение итогов урока. (10 мин.)

– Сегодня на уроке мы с вами провели большую работу и узнали много нового. Что для вас было новым? Что вы узнали?

Узнали, что числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления.

Все системы счисления делятся на две большие группы. Какие? (Позиционные и непозиционные).

Научились переводить числа из десятичной СС в двоичную и обратно.

Я предлагаю каждому из вас выполнить ещё одно задание самостоятельно. После выполнения (или если возникают затруднения) вы можете проверить ответ, решив задание при помощи стандартной программы “Калькулятор”.

Слайд 38. После выполнения всеми этих заданий на экране демонстрируется таблица.

Каждый студент находит в таблице свой ответ и говорит букву-код в соответствии с номером его карточки по порядку. В результате, буква за буквой на доске записывается фраза:

Больше науки – умнее руки.

7. Домашнее задание. (2 мин.)

Составьте свою биографию, записав все числа (дата, месяц, год рождения; дата поступления в школу; класс, в котором вы учитесь) в двоичной системе счисления.

18