Арифметические операции в позиционных системах счисления 9 класс

Конспект урока (9 класс)

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Цели урока:

Обучающие

1. Знать таблицы сложения, вычитания и умножения двоичных чисел,

алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления в двоичной и

десятичной системе счисления;

1. Уметь выполнять основные арифметические действия для двоичных

чисел.

1. Расширение связи с другими предметами. (с математикой)

2. Формировать умение работать в группах

Развивающие

1. Развивать память, логическое мышление;

Воспитательные

1. Воспитывать интерес к предмету.

2. Развивать у учащихся умения выделять главное, делать выводы,

высказывать свою точку зрения.

1. Воспитывать у учащихся нравственность, культуру, эстетическое отношение к окружающему миру.

1. Организационный момент - 1 мин

2. Проверка знаний (опрос) – 5 мин

3. Изложение нового материала – 20 мин

4. Закрепление изученного материала – 5 мин

5. Работа в группах (по карточкам) - 10 мин

6. Итог урока - 2 мин

7. Домашнее задание - 1 мин

Ход урока

1. Организационный момент. Приложение 1(слайд1)

Здравствуйте ребята, садитесь! Сегодня мы закрепим наши знания по системам счисления и дополним их новыми. Тема нашего урока - Арифметические операции в позиционных системах счисления.

1. (слайд2)Проверка знаний ( с использованием интерактивной доски).

Ответить на вопросы:

• Что называют системой счисления(СС)?

  • Ответ: СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

• Какие виды систем счисления вы знаете?

  • Ответ: ПОЗИЦИОННЫЕ и НЕПОЗИЦИОННЫЕ

• Какие системы счисления называются непозиционные?

  • Ответ: СС в которой значение цифры не зависит от ее положения в числе.

• Приведите примеры непозиционной системы счисления

  • Ответ: РИМСКАЯ I(1), II (2), III(3), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

• Какие системы счисления называются позиционные?

  • Ответ: В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

• Приведите примеры непозиционной системы счисления

  • Ответ: АРАБСКАЯ десятичная система –используются

• цифры от 0 до 9 , двоичная – цифры 0 1

• Что называется основанием в позиционной системе счисления?

  • Ответ: В позиционных СС количество цифр (знаков в алфавите) называется ОСНОВАНИЕМ СС

(слайд3 – ответы на вопросы )

(слайд4)Человек использует десятичную систему счисления, а компьютер – двоичную. Поэтому часто возникает необходимость перевода чисел из десятичной системы в двоичную.

• Вспомните правила перевода чисел из десятичной СС в двоичную

• Ответ: Делим число на основание системы счисления (на 2) до тех пор пока неполное частное будет меньше 2 (равно 1).

Для записи числа запишем последнее неполное частное и затем остатки от последнего к первому.

• Вспомните правила перевода чисел из двоичной СС в десятичную

• Ответ: Необходимо записать число в развернутой форме как сумму произведений цифр на основание системы счисления в

соответствующей номеру позиции степени и вычислить его

значение .

Ученики на интерактивной доске с помощью маркера выполняют задания:

(слайд5) 1.Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно

15₁₀ Х₂ 100110₂ Х ₁₀

(слайд6) 2.Заполните пустые ячейки таблицы «Позиционные системы счисления»

3. Изложение нового материала. (слайд7)

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным Вам правилам.

Эти правила были изложены средневековым ученым Ал-Хорезми в книге «Об индийском счёте». Ал-Хорезми жил и творил IX веке. Арабский оригинал его арифметического труда утерян, но имеется латинский перевод XII века. Эта книга сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр. Имя автора, в латинизированной форме (Algorismus, Algorithmus), стало обозначать в средневековой Европе всю систему десятичной арифметики, а правила стали называть алгоритмами. Отсюда и берёт начало современный термин алгоритм, который является одним из важнейших понятий науки информатики.

(слайд8) Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком   и  деление углом.

Сложение (слайд9,10)чисел в десятичной системе счисления

В основе сложения двоичных чисел лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел: 0 +0=0

0 + 1=1

1 + 0=1

1 + 1=10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд.

Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Пример: Проверка: 110₂=1*2²+1*2¹⁺0*2⁰=6₁₀

11₂=1*2¹+1*2⁰=3₁₀

6₁₀+3₁₀=9₁₀

1001₂=1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰=9₁₀

Вычитание(слайд11,12) чисел в десятичной системе счисления.

В основе вычитания двоичных чисел лежит таблица вычитани одноразрядных двоичных чисел:

0 - 0=0

0 - 1=1 1

1 - 0=1

1 - 1=0

При вычитании из меньшего числа (0) большего(1) производится заём из старшего разряда. В таблице заём обозначен 1 с чертой

Пример: Проверка: 110₂=1*2²+1*2¹⁺0*2⁰=6₁₀

11₂=1*2¹+1*2⁰=3₁₀

6₁₀-3₁₀=3₁₀

Операции Умножения (слайд13,14) выполняются по алгоритму, подобному алгоритму выполнения этих операций в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. (столбиком) .

х 150

15

+ 750

150

2250

В основе умножения двоичных чисел лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел: 0 х 0=0

0 х 1=0

Пример: 1 х 0=0

1 х 1 =1

Проверка: 110₂=1*2²+1*2¹⁺0*2⁰=6₁₀

11₂=1*2¹+1*2⁰=3₁₀

6₁₀*3₁₀=18₁₀

10010₂=1*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰=18₁₀

Деление (слайд15) чисел в десятичной системе счисления. _56 7

56 8

0

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. (углом)

Пример:

Проверка : 110₂=1*2²+1*2¹⁺0*2⁰=6₁₀

11₂=1*2¹+1*2⁰=3₁₀

6₁₀ : 3₁₀=2₁₀

4.Закрепление изученного материала(слайд16)

Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010₂ и 10₂ и проверить правильность выполнения арифметических действий.

5.РАБОТА в группах по КАРТОЧКАМ( Приложение 2 ) (Слайды 17,18,19,20,21)

6.Подведение итогов (слайд22)

Вот и подошел к завершению наш урок. Подведем его итоги. Прочтите начало фраз, выберите наиболее близкое вам высказывание и продолжите его

1. Сегодня на уроке самым познавательным для меня было …

2. Меня удивило, что …

3. Полученные сегодня на уроке знания я могу применить …

Выразите свое отношение к уроку смайликом   

Вы хорошо поработали и получаете следующие оценки :

7.Домашнее задание(слайд23): Параграф 3.1.2. стр.80 по учебнику Н. Угринович «Информатика и ИКТ»9 кл., зад. 3.6., стр.82

Литература:

1. Н.Угринович “Информатика и ИКТ 9 кл.”

2. Е.Андреева, И. Фалина « Системы счисления и компьютерная арифметика», Москва, «Лаборатория базовых знаний», 1999 г.

Приложение 2

Задание1. Русская поговорка. (Задание оценивается 3-мя баллами.)

Здесь зашифрована известная русская поговорка. Прочитайте ее, двигаясь с помощью двоичных цифр в определенной последовательности.

Задание 2. Загадка поэта. (Задание оценивается 2-мя баллами.)

Прочитайте шуточное стихотворение А. Н. Старикова «Необыкновенная девочка» и попробуйте разгадать загадку поэта. Для этого выпишите упомянутые в стихотворении числа и переведите их в десятичную систему счисления.

Задание 3. (Задание оценивается 5-мя баллами.)

В таблице приведены номер точки  и ее координаты, записанные в двоичной системе счисления. Координаты некоторых точек нужно найти, выполнив арифметические действия в указанных системах счисления.
Для каждой точки выполните перевод ее координат в десятичную систему счисления и отметьте точку на координатной плоскости. Правильно сделав перевод и соединив последовательно все точки, вы получите некоторый рисунок.

Ответы заданий :

Задание 1 Ответ:  ЧТО ПОСЕЕШЬ, ТО И ПОЖНЕШЬ

Задание 2. Ребята переводят числа в десятичную систему счисления и читают стихотворение:

Задание 3. Выполнив правильно задания, ученики должны получить рисунок «Елочка»

Позиционные системы счисления

Арифметические операции

в позиционных системах счисления.

Ответьте на вопросы :

• Что называют системой счисления(СС)?

• Какие виды систем счисления вы знаете?

• Какая система называется непозиционной?

• Приведите примеры непозиционной системы счисления

• Какая система называется позиционной?

• Приведите примеры позиционной системы счисления

• Что называется основанием в позиционной системе счисления?

Ответ:

1. СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

2. ПОЗИЦИОННЫЕ и НЕПОЗИЦИОННЫЕ

3. СС в которой значение цифры не зависит от ее положения в числе.

4. РИМСКАЯ I(1), II (2), III(3), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

5. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

6. АРАБСКАЯ десятичная система –используются

цифры от 0 до 9 , двоичная – цифры 0 1

7. В позиционных СС количество цифр (знаков в алфавите) называется ОСНОВАНИЕМ СС

Человек использует десятичную систему счисления, а компьютер – двоичную. Поэтому часто возникает необходимость перевода чисел из десятичной системы в двоичную.

Вспомните правила перевода чисел из десятичной СС в двоичную:

• Делим число на основание системы счисления (на 2) до тех пор пока неполное частное будет меньше 2 (равно 1).
• Для записи числа запишем последнее неполное частное и затем остатки от последнего к первому.

Вспомните правила перевода чисел из двоичной СС в десятичную

Необходимо записать число в развернутой форме как сумму произведений цифр на основание системы счисления(2) в соответствующей номеру позиции степени и вычислить его значение .

Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную и обратно

15 10 х 2

100110 2 х 10

Заполните пустые ячейки таблицы :

Система счисления

Основа ние

Десятичная

Алфавит цифр

10

2

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Восьмеричная

8

Шестнадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, А(10), В(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным Вам правилам.

Эти правила были изложены средневековым ученым Ал-Хорезми в книге «Об индийском счёте». Ал-Хорезми жил и творил IX веке. Арабский оригинал его арифметического труда утерян, но имеется латинский перевод XII века.

Эта книга сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр. Имя автора, в латинизированной форме ( Algorismus , Algorithmus ), стало обозначать в средневековой Европе всю систему десятичной арифметики, а правила стали называть алгоритмами . Отсюда и берёт начало современный термин алгоритм , который является одним из важнейших понятий науки информатики.

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком   и  деление углом.

+ - х :

Сложение.

Сложение чисел в десятичной системе счисления.

Пример:

Двоичная система счисления.

В основе сложения двоичных чисел лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 +0=0

0 + 1=1

1 + 0=1

1 + 1=10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд.

Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Пример:

Проверка:

110 2 =1*2 2 +1*2 1+ 0*2 0 =6 10

11 2 =1*2 1 +1*2 0 =3 10

6 10 +3 10 =9 10

1001 2 =1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =9 10

Вычитание.

Вычитание чисел в десятичной системе счисления.

Пример:

Двоичная система счисления.

В основе вычитания двоичных чисел лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел.

При вычитании из меньшего числа (0) большего(1) производится заём из старшего разряда. В таблице заём обозначен 1 с чертой:

0 -0=0

0 - 1=1 1

1 - 0=1

1 - 1=0

Пример:

Проверка:

110 2 =1*2 2 +1*2 1+ 0*2 0 =6 10

11 2 =1*2 1 +1*2 0 =3 10

6 10 -3 10 =3 10

Умножение .

Операции умножения выполняются по алгоритму, подобному алгоритму выполнения этих операций в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. (столбиком).

150

х

15

Пример:

750

+

150

2250

Двоичная система счисления.

В основе умножения двоичных чисел лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

0 х 0=0

0 х 1=0

1 х 0=0

1 х 1 = 1

Пример:

Проверка:

110 2 =1*2 2 +1*2 1+ 0*2 0 =6 10

11 2 =1*2 1 +1*2 0 =3 10

6 10 *3 10 =18 10

10010 2 =1*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =18 10

Деление.

Деление чисел в десятичной системе счисления.

Пример:

56

7

-

56

8

0

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. (углом)

Проверка:

110 2 =1*2 2 +1*2 1+ 0*2 0 =6 10

11 2 =1*2 1 +1*2 0 =3 10

6 10 :3 10 =2 10

Пример:

Закрепление нового материала

Задание :

Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010 2 и 10 2 и проверить правильность выполнения арифметических действий.

РАБОТА по КАРТОЧКАМ

в группах

Задание1. Русская поговорка.

(Задание оценивается 3-мя баллами.)

Здесь зашифрована известная русская поговорка. Прочитайте ее, двигаясь с помощью двоичных цифр в определенной последовательности .

то

ип

ож

110

111

1000

ее

не

шь

чт

100

101

1

1001

шь

оп

ос

10

1010

11

Задание 2. Загадка поэта. (Задание оценивается 2-мя баллами.)

Прочитайте шуточное стихотворение А. Н. Старикова «Необыкновенная девочка» и попробуйте разгадать загадку поэта. Для этого выпишите упомянутые в стихотворении числа и переведите их в десятичную систему счисления.

Ей было 1100 лет,

Она в 101 -й класс ходила,

В портфеле по 100 книг носила -

Все это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато 100 -ногий.

Она ловила каждый звук

Своими 10 -ю ушами,

И 10 загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И 10 темно-синих глаз

Рассматривали мир привычно…

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

Задание 3.

(Задание оценивается 5-мя баллами.)

В таблице приведены номер точки  и ее координаты, записанные в двоичной системе счисления. Координаты некоторых точек нужно найти, выполнив арифметические действия в двоичной системе счисления. Для каждой точки выполните перевод ее координат в десятичную систему счисления и отметьте точку на координатной плоскости. Правильно сделав перевод и соединив последовательно все точки, вы получите некоторый рисунок.

№ точки

Координаты точки

X

1

Y

2

110 2

10 2

110 2

3

11 2

10 2

4

5

11 2

11 2 +11 2

11 2

6

101 2

7

101 2

110 2

8

100 2

101 2 +11 2

9

1001 2 - 10 2

111 2

1001 2

10

101 2 +110 2

111 2

1001 2

11

111 2

100 2 * 11 2

12

101 2

1001 2

13

10 2 +11 2

110 2

14

101 2

101 2 +100 2

15

10 2

1001 2

10 2

Подведение итогов урока

Прочтите начало фраз, выберите наиболее близкое вам высказывание и продолжите его

• Сегодня на уроке самым познавательным для меня было …

• Меня удивило, что …

• Полученные сегодня на уроке знания я могу применить …

Выразите свое отношение к уроку смайликом

  

Домашнее задание:

Параграф 3.1.2. стр.80 по учебнику

Н. Угринович «Информатика и ИКТ»9 кл.,

задание 3.6., стр.82,