Билеты к экзамену по геометрии 8 класс.

Подготовила учитель математики

МБОУ СОШ №11 г.Обнинска

Куракина С.М.

Билеты к экзамену по геометрии в 8 классе

Билет №1.

1. Сформулируйте определение выпуклого многоугольника ( периметр, диагональ). Сформулируйте теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

2. Признаки подобия треугольников. Доказать один признак на выбор обучающегося.

3. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: дуга ВС=134°;

4. Найдите диагонали равнобедренной трапеции, основания которой равны 4 см и 6 см, а боковая сторона равна 5 см.

Билет №2.

1. Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Площадь прямоугольника (формулировка и доказательство).

3. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см. а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника

4. Через вершины А, В и С ромба АВСО проведена окружность, центром которой является вершина О. Найдите длину дуги АС, содержащей вершину В, если длина всей окружности равна 30 см.

Билет №3

1. Параллелограмм. Определение. Свойства.

2. Теорема об окружности, вписанной в треугольник.

3. Найдите среднюю линию равностороннего треугольника с периметром 54 см.

4. Вписанный угол, образованный хордой и диаметром окружности, равен 72°. Определите, что больше: хорда или радиус окружности.

Билет № 4.

1. Четырехугольник. Сумма углов четырёхугольника.

2. Свойство касательной к окружности (формулировка и доказательство).

3. Площадь треугольника, описанного около окружности, равна 84 см². Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 7 см

4.Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе АD. Найдите АВ, если АС = 12см.

Билет № 5.

1. Свойства площадей.

2. Теорема о средней линии треугольника (формулировка и доказательство).

3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. считая от основания. Найдите периметр треугольника.

4. Из вершины B в треугольнике ABC проведены высота BH и биссектриса BD. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD, если углы BAC и BCA равны 20° и 60° соответственно.

Билет № 6

1. Трапеция. Определение. Виды трапеций. Свойство равнобедренной трапеции.

2. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки (формулировка и доказательство).

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 9. Найдите гипотенузу, синус, косинус и тангенс одного из углов этого треугольника.

4. В трапеции ABCD диагональ BD является биссектрисой прямого угла ADC. Найдите отношение диагонали BD к стороне AB трапеции, если ∠ BAD = 30°.

Билет № 7

1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Квадрат.

2. Теорема о вписанном угле (формулировка и доказательство).

3. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: АВ, если ОВ=4 см, OD=10 см, DC=25 см.

4. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе прямоугольного треугольника, если его катеты равны 8 см и 6 см.

Билет № 8

1. Ромб. Свойства ромба. Квадрат.

2. Свойство биссектрисы угла (формулировка и доказательство).

3. Площади двух подобных треугольников равны 75 и 300. Одна из сторон второго треугольника

равна 9. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

4. Окружность разделена на две дуги, причём градусная мера одной из них в три раза больше градусной меры другой. Чему равны центральные углы, соответствующие этим дугам.

Билет № 9

1. Квадрат. Свойства квадрата.

2. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку (доказательство).

3. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

4. Определите вид четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон произвольного выпуклого четырехугольника

Билет № 10.

1. Подобные треугольники. Определение. Коэффициент подобия.

2. Свойства прямоугольника.

3. В треугольнике АВС отмечены точки D и E, которые являются серединами сторон АВ и ВС соответственно. Найдите периметр четырёхугольника ADEC, если АВ = 24 см, ВС = 32 см и

АС = 44 см.

4. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к его диагонали, делит её на отрезки, равные 2 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника.

Билет № 11.

1. Медиана треугольника. Определение. Свойство точки пересечения медиан треугольника.

2. Площадь параллелограмма (формулировка и доказательство).

3. Две стороны треугольника равны 7, 5 см и 3, 2 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2, 4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.

4. Даны две концентрические окружности с центром в точке О. АС и ВD – диаметры этих окружностей. Доказать, что ΔАВО = ΔCDO.

Билет № 12.

1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

2. Теорема об окружности, описанной около треугольника (формулировка и доказательство).

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 9. Найдите гипотенузу, синус, косинус и тангенс одного из углов этого треугольника.

4. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, сумма внутренних углов которого
равна 4320°.

Билет № 13.

1. Свойство описанного четырехугольника.

2. Свойства ромба (формулировка и доказательство).

3. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

4. Угол между высотами BK и BL параллелограмма АВСD, проведенными из вершины его острого угла B, в четыре раза больше самого угла АВС. Найдите углы параллелограмма.

Билет № 14.

1. Свойство вписанного четырехугольника.

2. Площадь треугольника (формулировка и доказательство).

3. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

4. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника АВС, опущен на гипотенузу СВ перпендикуляр DE. Найти отрезок СD, если СВ = 15 см, АВ = 9 см и СЕ = 4 см.

Билет № 15.

1. Центральный угол. Вписанный угол.

2. Площадь трапеции (формулировка и доказательство).

3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 10см, а боковая сторона равна 13см.

4. Точки A, B и C делят окружность на три части так, что ∪AB : ∪BC : ∪AC = 4 : 7 : 9. Определите наибольший угол треугольника ABC.

Билет № 16.

1. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30° , 45° , 60° .

2. Теорема, обратная теореме Пифагора (формулировка и доказательство).

3. В окружности с центром О угол между хордой АВ и радиусом ВО в 8 раз меньше, чем угол между хордой ВС и диаметром АС. Найдите эти углы.

4. Из точки, лежащей на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, на катеты треугольника опущены перпендикуляры. Найдите катет треугольника, если периметр полученного четырехугольника равен 12 см.

Билет № 17

1. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника.

2. Свойства параллелограмма (формулировка и доказательство).

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8см. , гипотенуза 10 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе

4. В трапеции ABCD проведены диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник СОВ подобен треугольнику АОD

Билет № 18

1. Вписанная окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник.

2. Теорема Пифагора (формулировка и доказательство). Пифагоровы треугольники.

3. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12 см, а наибольшая боковая сторона – 25 см. Найдите периметр трапеции.

4. Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка D, такая, что ∠ BAD = ∠ BCD = 15°. Найдите угол ADC.

Задачи №4 к экзамену по геометрии в 8 классе.

1. Найдите диагонали равнобедренной трапеции, основания которой равны 4 см и 6 см, а боковая сторона равна 5 см.

2. Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе АD. Найдите АВ, если АС = 12 см.

3. Вписанный угол, образованный хордой и диаметром окружности, равен 72°. Определите, что больше: хорда или радиус окружности.

4. В трапеции ABCD проведены диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник СОВ подобен треугольнику АОD.

5. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, сумма внутренних углов которого равна 4320°.

6. Через вершины А, В и С ромба АВСО проведена окружность, центром которой является вершина О. Найдите длину дуги АС, содержащей вершину В, если длина всей окружности равна 30 см.

7. Из вершины B в треугольнике ABC проведены высота BH и биссектриса BD. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD, если углы BAC и BCA равны 20° и 60° соответственно.

8. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к его диагонали, делит её на отрезки, равные 2 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника

9. В трапеции ABCD диагональ BD является биссектрисой прямого угла ADC. Найдите отношение диагонали BD к стороне AB трапеции, если ∠ BAD = 30°.

10. Определите вид четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон произвольного выпуклого четырехугольника.

11. Угол между высотами BK и BL параллелограмма АВСD, проведенными из вершины его острого угла B, в четыре раза больше самого угла АВС. Найдите углы параллелограмма.

12. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе прямоугольного треугольника, если его катеты равны 8 см и 6 см.

13. Из точки, лежащей на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, на катеты треугольника опущены перпендикуляры. Найдите катет треугольника, если периметр полученного четырехугольника равен 12 см.

14. Даны две концентрические окружности с центром в точке О. АС и ВD – диаметры этих окружностей. Доказать, что ΔАВО = ΔCDO.

15. Точки A, B и C делят окружность на три части так, что ∪AB : ∪BC : ∪AC = 4 : 7 : 9. Определите наибольший угол треугольника ABC.

16. Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка D, такая, что ∠ BAD = ∠ BCD = 15°. Найдите угол ADC.

17. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника АВС, опущен на гипотенузу СВ перпендикуляр DE. Найти отрезок СD, если СВ = 15 см, АВ = 9 см и СЕ = 4 см.

18. Окружность разделена на две дуги, причём градусная мера одной из них в три раза больше градусной меры другой. Чему равны центральные углы, соответствующие этим дугам.

Задачи №3 к экзамену по геометрии в 8 классе.

1. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: дуга ВС=134°;

2. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см. а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника

3.Найдите среднюю линию равностороннего треугольника с периметром 54 см.

4. Площадь треугольника, описанного около окружности, равна 84 см². Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 7 см.

5. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. считая от основания. Найдите периметр треугольника.

6. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 9. Найдите гипотенузу, синус, косинус и тангенс одного из углов этого треугольника.

7. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: АВ, если ОВ=4 см, OD=10 см, DC=25 см.

8. Площади двух подобных треугольников равны 75 и 300. Одна из сторон второго треугольника равна 9. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника

9. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

10. В треугольнике АВС отмечены точки D и E, которые являются серединами сторон АВ и ВС соответственно. Найдите периметр четырёхугольника ADEC, если АВ = 24 см, ВС = 32 см и

АС = 44 см.

11. Две стороны треугольника равны 7, 5 см и 3, 2 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2, 4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.

12. Площадь ромба ABCD равна 242. Вычислите сторону ромба, если один из его углов равен 135°.

13. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

14. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 10см, а боковая сторона равна 13см.

15. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8см. , гипотенуза 10 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе.

16. В окружности с центром О угол между хордой АВ и радиусом ВО в 8 раз меньше, чем угол между хордой ВС и диаметром АС. Найдите эти углы.

17. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12 см, а наибольшая боковая сторона – 25 см. Найдите периметр трапеции.

18. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.