Четыре замечательные точки треугольника.

ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ

ТРЕУГОЛЬНИКА

• Точка пересечения медиан треугольника
• Точка пересечения биссектрис треугольника
• Точка пересечения высот треугольника
• Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника

Медиана

Медианой (BD) треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

В

А

С

D

Медианы треугольника пересекаются в одной точке ( центре тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины .

В

С 1

О

А 1

А

В 1

С

БИССЕКТРИСА

Биссектрисой (АD) треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника. ∟ BAD = ∟ CAD.

В

D

A

C

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

В

М

А

С

Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке– центре вписанной в треугольник окружности.

В

С 1

О

А 1

А

М

В 1

С

Радиус окружности (ОМ) – перпендикуляр, опущенный из центра (т.О) на сторону треугольника

ВЫСОТА

Высотой (СD) треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.

B

D

A

C

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

С

В 1

А 1

В

С 1

А

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Серединным перпендикуляром (DF) называется прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая её пополам.

C

M

А

L

B

Каждая точка серединного перпендикуляра (m) к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

М

В

А

O

m

Все серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке– центре описанной около треугольника окружности .

Радиусом описанной окружности является расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника (ОА).

В

m

n

О

А

С

p

М 1

М 2

O

А 2

А 1

А

N 2

N 1