"четырехугольники"

Повторение планиметрии

Геометрия

Четырехугольники

(Свойства, признаки)

Автор:

Горяшина Анна Анатольевна,

Учитель математики

Цели урока :

• Установить связь между фигурами, изучаемыми в данной теме;
• Систематизировать свойства и признаки четырехугольников, изученных на уроках геометрии;
• Закрепить в процессе решения задач полученные знания и навыки;
• Создать у школьников положительную мотивацию к выполнению умственных и практических заданий;

• Совершенствовать коммуникативные умения учащихся в совместной деятельности и информационно – познавательную компетентность учащихся.

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек ( вершин ) и четырёх отрезков ( сторон ), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

В

С

выпуклый

невыпуклый

D

А

Стороны, исходящие из одной вершины, называются смежными .

Вершины, являющиеся концами одной стороны, называются соседними .

Стороны, не имеющие общих вершин, называются противолежащими .

Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями .

четырехугольник

Классификация

четырехугольников

параллелограмм

трапеция

равнобедренная

прямоугольник

прямоугольная

ромб

квадрат

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

• ПАРАЛЛЕЛОГРАММОМ

называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны: AB||CD,   BC||AD.

С

В

D

А

• Свойства, признаки
• Задачи

С

D

• ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ

называется параллелограмм , у которого все углы прямые:

∠ A=∠B=∠C=∠D=90°.

В

А

• Свойства, признаки
• Задачи

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

А

• РОМБОМ

называется параллелограмм , у которого все стороны равны:

AB=BC=CD=AD

D

В

С

• Свойства, признаки
• Задачи

В

С

• КВАДРАТОМ

называется прямоугольник , у которого все стороны равны:

AB=BC=CD=AD.

D

А

• Свойства, признаки

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

5. ТРАПЕЦИЕЙ называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

В

AD||BC, а две другие не

параллельны.

С

D

А

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
• Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции .

ВИДЫ ТРАПЕЦИЙ

равнобедренная

прямоугольная

Определение :

Определение:

Трапеция называется равнобедренной ,

Трапеция называется прямоугольной , если один из углов прямой.

если ее боковые стороны равны.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

Признаки

Свойства

(признаки фигуры отвечают на

вопрос «как узнать что фигура

является …?»)

В параллелограмме АВСД:

• Противоположные стороны равны;
• Противоположные углы равны;
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

Дополнительные свойства:

• ⦟ А+⦟В=⦟С+⦟D=⦟В+⦟С=

=⦟А+⦟D=180˚;

• Биссектриса угла отсекает от него равнобедренный треугольник;

АВСД параллелограмм, если:

• У четырехугольника две стороны равны и параллельны;
• У четырехугольника противоположные стороны попарно равны;
• У четырёхугольника противоположные углы равны;
• У четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Е

В

С

О

А

D

• Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

ПРЯМОУГОЛЬНИК

Признаки

Свойства

АВСД прямоугольник, если:

Обладает всеми свойствами параллелограмма.

В прямоугольнике АВСД:

• В параллелограмме все углы равны;
• В параллелограмме один угол прямой;
• В четырехугольнике три угла прямые;
• В параллелограмме диагонали равны.

Свойство противолежащих сторон и углов:

• Противоположные стороны и углы равны;

Свойство диагоналей:

• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Отличительное свойство, только прямоугольника:

• Диагонали прямоугольника равны. Дополнительные свойства:
• Диагонали делят его на два равных треугольника; Сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 °.

С

В

D

А

РОМБ

Признаки

Свойства

Обладает всеми свойствами параллелограмма.

В ромбе АВСД:

АВСД ромб, если:

• В параллелограмме все стороны равны;
• В параллелограмме диагонали делят его углы пополам;
• В параллелограмме диагонали перпендикулярны .

Свойство противолежащих сторон и углов:

• Противоположные стороны и углы равны;

Свойство диагоналей:

• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Отличительное свойство, только ромба:

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

В

С

А

D

КВАДРАТ

Признаки

Свойства

Обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

В квадрате АВСД:

АВСD квадрат, если:

• АВСD- прямоугольник и

диагонали перпендику-

Лярны;

• АВСD -прямоугольник,
• АС и ВD биссектрисы

углов;

• АВСD- ромб и АС=ВD;
• АВСD- ромб и ⦟А=90ᴼ

• Все углы прямые;
• Диагонали равны;
• Диагонали взаимно перпендикулярны;
• Диагонали точкой пересечения

делятся пополам и делят углы квадрата

пополам.

В

С

А

D

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам у  ...
• Диагонали равны у  ...
• Углы, прилегающие к одной стороне, равны у  …
• Диагонали перпендикулярны у  ...
• Диагонали делят углы пополам у  ...
• Все углы равны у  ...
• Диагонали равны и перпендикулярны у  ...
• Какой параллелограмм обладает всеми перечисленными свойствами? …

Ответы написать в тетради, самопроверка по образцу

ОТВЕТЫ :

• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам у  прямоугольника, ромба, квадрата .
• Диагонали равны у  прямоугольника, квадрата.
• Углы, прилегающие к одной стороне, равны у  прямоугольника, квадрата.
• Диагонали перпендикулярны у  ромба, квадрата .
• Диагонали делят углы пополам у  ромба, квадрата .
• Все углы равны у  прямоугольника, квадрата .
• Диагонали равны и перпендикулярны у  квадрата.
• Какой параллелограмм обладает всеми перечисленными свойствами? ( Квадрат )

Решение задач по готовым чертежам

№ 2.

№ 1. MNKP парал-м ,

АВСD ромб,

№ 17

В

№ 17

⦟ А=80 ˚

N

K

1?

40˚

J ᴼО JJJО

3?

O

2?

А

С

30˚

P

M

D

Найти: углы

⧍ ВОС

Найти: все углы парал-

лелограмма

№ 20

С

В

В

К

С

2,5см

4,5см

№ 3.

№ 4.

ОО

ВD=12см

O

6

А

D

D

А

H

Найти: Р АВСD

Найти: ОН

Ответы:

№ 1.

⦟ M= ⦟ K=70 ᴼ ;

№ 2.

⦟ 1=50 ᴼ

⦟ N= ⦟ P=110 ᴼ

⦟ 2=40 ᴼ

⦟ 3=90 ᴼ

№ 3.

23 см

№ 4.

3 см

Задачи на применение признаков четырехугольников

№ 1

Доказательство:

Дано:

АВСD четырехугольник

⦟ 1=⦟3, ⦟2=⦟4.

Доказать: АВСD

параллелограмм

В

С

• ⦟ 1=⦟3 (по условию), а

эти углы- _______________

2

11

3

при пересечении прямых

____________ и секущей ___,

то прямые______ и _____ параллельны .

1

4

А

D

2 . ⦟2=⦟4, то прямые_______ и _______ также параллельны.

3. Четырехугольник АВСD параллелограмм, т. к. его стороны ______

(по _________). ч.т.д.

А

№ 18

Доказательство:

№ 2

Дано:

⧍ АВС, АМ –медиана,

D ∈ АМ, АМ=МD

1.АМ медиана (по усл.)

С

М

__=__, __=__(по постр.),сл-но

в четырех-ке АВСD диагонали

_______________ , сл-но АВСD па-

раллелограмм. ч.т.д.

В

Доказать: АВСD

параллелограмм

D

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача № 1

Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

В

О

О

А

С

D

Решение

В

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому ⧍ АОВ – прямоугольный

2. Пусть в ⧍ АОВ : ⦟ АВО = х, тогда  ⦟ ВАО = х + 30° , значит 

⦟ АВО +  ⦟ ВАО = х + х + 30 ° = 90° ,

х = 30° .

3. ⦟ АВО = 30° ,  ⦟ ВАО = 60° , а т.к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то  ⦟ ВАD = 120° ,  ⦟ АВС = 60° .

4. Противолежащие углы в ромбе равны, тогда  ⦟ АDС =  ⦟ АВС = 60° ,  ⦟ ВСD =  ⦟ BAD = 120° .

О

О

А

С

D

Ответ : 60 ° ,120° , 60° , 120° .

Задача №2

Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°.

Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

Решение

• Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО = ВD/2 = АС/2 =АО, а значит ⧍ АОВ – равнобедренный,

тогда   ⦟ ОАВ =  ⦟ ОВА = 50° .

• В прямоугольнике все углы прямые, тогда  ⦟ ОАD = ⦟ ВАD - ⦟ ОАВ =

= 90 ° – 50° = 40° .

Ответ : 50° ,40°

Спасибо за сотрудничество

Удачи