"Четырехугольники в ЕГЭ"

«Подготовка к ОГЭ по математике»

Тема: Параллелограмм, ромб, трапеция. Свойства и признаки.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180°

1) Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

180° – (65° + 50°) = 65°

Ответ: 65

2) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма.

х+ 40

х

х + (х + 40) = 180

2х + 40 = 180

2х = 140

х = 70

Ответ: 70

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

3) В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны  AB  и ∠ ACD = 104°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма.

(180° – 104°) : 2 = 38°

Ответ: 38

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник

4) Найдите величину острого угла парал - лелограмма ABCD , если биссектриса угла A образует со стороной  BC  угол, равный 15°. 

15°

15*2 = 30°

Ответ: 30

5) Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если  BK  = 6,  CK  = 10.

ВС = ВК + КС

АВ = ВК = 6

Р = (АВ + ВС) * 2

ВС = 6 + 10 = 16

Р = (6 + 16) * 2 = 44

Ответ: 44

Стороны ромба равны

34

6) Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

  Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке возрастания.

30°

60°

17

17

Ответ: 1717

7) Высота  BH  ромба  ABCD  делит его сторону  AD  на отрезки  AH  = 44 и  HD  = 11. Найдите площадь ромба.

S = ВН*АD

АD = 44 + 11 = 55

ВН =

АВ 2 = ВН 2 + АН 2

S = 55 * 33 = 1815

Ответ: 1815

Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°

8) Найдите больший угол равнобедренной трапеции  ABCD , если диагональ  AC  образует с основанием  AD  и боковой стороной  AB  углы, равные 30° и 45° соответственно.

180° – (45° + 30°) = 105°

Ответ: 105

9) Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2.

2х

х + 2х = 180°

3х = 180°

х

х = 60°

Ответ: 60

Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°

9) Найдите больший угол равнобедренной трапеции  ABCD , если диагональ  AC  образует с основанием  AD  и боковой стороной  AB  углы, равные 30° и 45° соответственно.

180° – (45° + 30°) = 105°

Ответ: 105

10) Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2.

2х

х + 2х = 180°

3х = 180°

х

х = 60°

Ответ: 60

Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°

10) Биссектрисы углов  A  и  B  при боковой cтороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке  F . Найдите  AB , если  AF  = 24,  BF  = 32.

 ABF - прямоугольный

АВ 2 = AF 2 + BF 2

АВ 2 =

Ответ: 40

11) Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.

NL = 1/2AD = 5;

Ответ: 5

KL = 1/2BC = 2;

12) Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины  C , делит основание AD  на отрезки длиной 1 и 5. Найдите длину основания  BC .

4

1

5

1

Ответ: 4

13) В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

c

т.е. a+b = c+d = 24;

средняя линия = ½*(c+d) = 12

b

a

Ответ: 12

d

14) Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.

Запишите величины углов в ответ без пробелов в порядке неубывания

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°

131°

180° – 49° = 131°;

131°

49°

49°

Ответ: 49131131

15) В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

5 + 6 + 5 = 16

5

5

6

Ответ: 16

ele1294@mail.ru