2023 ЕГЭ Январь Математика Вариант 2

Тип 1 № 27845 

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

2. Тип 2 № 27215 

Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

3. Тип 3 № 500037 

Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам  — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

4. Тип 4 № 320205 

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

5. Тип 5 № 26650 

Найдите корень уравнения 

6. Тип 6 № 26781 

Найдите значение выражения 

7. Тип 7 № 119975 

Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  9 с.

8. Тип 8 № 27995 

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне  через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды  кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры  до температуры  причeм  где   — теплоeмкость воды,   — коэффициент теплообмена, а   — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.

9. Тип 9 № 99602 

Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в  К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в 

10. Тип 10 № 508951 

На рисунке изображён график функции  Найдите 

11. Тип 11 № 77501 

Найдите точку минимума функции 

12. Тип 12 № 519423 

а)  Решите уравнение 

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку 

13. Тип 13 № 520995 

В правильном тетраэдре АВСD точка Н  — центр грани АВС, а точка М  — середина ребра СD.

а)  Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.

б)  Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

14. Тип 14 № 514256 

Решите неравенство 

15. Тип 15 № 517480 

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,6 млн рублей?

16. Тип 16 № 517479 

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O₁ и O₂ соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.

а)  Докажите, что прямые AO₁ и CO₂ перпендикулярны.

б)  Найдите площадь четырёхугольника MO₁NO₂, если AC = 20 и BC = 15.

17. Тип 17 № 507743 

Найти все значения параметра a, при каждом из которых среди значений функции  есть ровно одно целое число.

18. Тип 18 № 517451 

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а)  Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б)  Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в)  Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?