ЕГЭ 2023 Январь Математика Вариант 13

 Тип 1 № 27775 

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

2. Тип 2 № 27117 

Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

3. Тип 3 № 320195 

Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

4. Тип 4 № 508808 

Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

5. Тип 5 № 504406 

Найдите корень уравнения

6. Тип 6 № 509315 

Найдите  если 

7. Тип 7 № 541372 

На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой  Найдите значение производной функции  в точке 

8. Тип 8 № 28013 

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону  где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний,  м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле  где m  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

9. Тип 9 № 26587 

Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

10. Тип 10 № 509123 

На рисунке изображён график функции . Найдите a.

11. Тип 11 № 282862 

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

12. Тип 12 № 485935 

а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни, принадлежащие отрезку 

13. Тип 13 № 515687 

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а)  Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC и SA, пополам.

б)  Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если  AB  =  AC  =  5, 

14. Тип 14 № 514521 

Решите неравенство 

15. Тип 15 № 515728 

15-го января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

16. Тип 16 № 504832 

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а)  Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный.

б)  Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD  =  3 : 1 и AC  =  2a.

17. Тип 17 № 485938 

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

больше, чем 

18. Тип 18 № 514920 

Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5.

Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2.

а)  Может ли такой набор содержать ровно 13 единиц?

б)  Может ли такой набор содержать менее 13 единиц?

в)  Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.