ЕГЭ 2023 Январь Математика Вариант 8

1. Тип 1 № 27765 

Острый угол прямоугольного треугольника равен 32°. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.

2. Тип 2 № 27080 

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

3. Тип 3 № 320181 

В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

4. Тип 4 № 508870 

Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

5. Тип 5 № 26661 

Найдите корень уравнения 

6. Тип 6 № 510087 

Найдите значение выражения 

7. Тип 7 № 317542 

На рисунке изображён график  производной функции  и восемь точек на оси абсцисс:     В скольких из этих точек функция  убывает?

8. Тип 8 № 27998 

Мяч бросили под углом  к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле  При каком значении угла  (в градусах) время полeта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения  м/с

9. Тип 9 № 26585 

Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

10. Тип 10 № 564160 

На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b, c и d  — целые. Найдите корень уравнения 

11. Тип 11 № 26697 

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

12. Тип 12 № 530382 

а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Тип 13 № 516275 

Точки P и Q  — середины рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно.

а)  Докажите, что прямые B₁P и QB перпендикулярны.

б)  Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.

14. Тип 14 № 517447 

Решите неравенство 

15. Тип 15 № 506953 

В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х% годовых, тогда как в январе 2001 года она составила у% годовых, причем известно, что x + y = 30. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

16. Тип 16 № 520192 

Точка I  — центр окружности S₁, вписанной в треугольник ABC, точка O  — центр окружности S₂, описанной около треугольника BIC.

а)  Докажите, что точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

б)  Найдите косинус угла BAC, если радиус описанной окружности треугольника ABC относится к радиусу окружности S₂ как 3:5.

17. Тип 17 № 520788 

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

18. Тип 18 № 514511 

Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [23; 84]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.

а)  Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?

б)  Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?

в)  В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного