ЕГЭ 2023 Январь Математика Вариант 10

 Тип 1 № 27909 

Сторона правильного треугольника равна  Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

2. Тип 2 № 245373 

Найдите угол CAD₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

3. Тип 3 № 320178 

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

4. Тип 4 № 320197 

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

5. Тип 5 № 26666 

Найдите корень уравнения: 

6. Тип 6 № 509417 

Найдите значение выражения 

7. Тип 7 № 502067 

На рисунке изображён график функции y  =  f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

8. Тип 8 № 28010 

Катер должен пересечь реку шириной  м и со скоростью течения  м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением  где  − острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом  (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

9. Тип 9 № 26594 

На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

10. Тип 10 № 509253 

На рисунке изображены графики функций  и  которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

11. Тип 11 № 26713 

Найдите точку максимума функции 

12. Тип 12 № 507644 

а)  Решите уравнение: 

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Тип 13 № 514506 

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM  =  2, CN  =  1.

а)  Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б)  Найдите объём тетраэдра MNBB₁.

14. Тип 14 № 507612 

Решите неравенство 

15. Тип 15 № 517569 

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 27 млн рублей?

16. Тип 16 № 525380 

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а)  Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCD, если известно, что радиус первой окружности равен 4, а радиус второй окружности равен 1.

17. Тип 17 № 514607 

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

18. Тип 18 № 526258 

Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2.

а)  Может ли быть 10 синих карточек?

б)  Может ли быть 10 красных карточек?

в)  Какое наибольшее количество синих карточек может быть?