2023 ЕГЭ Январь Математика Вариант 4

Вариант № 50010806

1. Тип 1 № 27624 

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

2. Тип 2 № 27045 

В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

3. Тип 3 № 320186 

На рок-фестивале выступают группы  — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

4. Тип 4 № 508819 

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

5. Тип 5 № 26663 

Найдите корень уравнения: 

6. Тип 6 № 26824 

Найдите значение выражения  при 

7. Тип 7 № 551780 

Функция  определена и непрерывна на интервале  На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции  В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

8. Тип 8 № 27996 

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени  моль воздуха объeмом  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма  Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением  (Дж), где  − постоянная, а  − температура воздуха. Какой объeм  (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?

9. Тип 9 № 99570 

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

10. Тип 10 № 509197 

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

11. Тип 11 № 26699 

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

12. Тип 12 № 522122 

а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Тип 13 № 517263 

Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A₁P  =  4.

а)  Докажите, что PBDC₁ — правильный тетраэдр.

б)  Найдите длину отрезка AP.

14. Тип 14 № 507691 

Решите неравенство: 

15. Тип 15 № 514523 

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

16. Тип 16 № 505239 

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E  —  на отрезке AB.

а)  Докажите, что FH  =  2DH.

б)  Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB  =  4.

17. Тип 17 № 484646 

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно  решений.

18. Тип 18 № 505663 

В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой  — пятую, и так далее.

а)  Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б)  Докажите, что 11‐я строка совпадает с 12‐й.

в)  Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10‐я строка не совпадает с 11‐й.