Чевианы решение задач

« Полезные формулы для вычисления чевиан треугольника»

Содержание:

• 1. Формулы высоты треугольника
• 2. Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике
• 3. Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника
• 4. Теорема Стюарта
• 4.1 Длина биссектрисы, проведенной из прямого угла на гипотенузу.
• 4.2 Длина биссектрисы, проведенной из острого угла на катет
• 4.3 Формулы биссектрисы в произвольном треугольнике
• 4.4 Формулы медианы произвольного треугольника 4.5 Формулы медианы прямоугольного треугольника
• 4.6 Задачи
• Заключение
• Использованная литература

• Чевиана  —  это любой отрезок в треугольнике, один конец которого является вершиной треугольника, а другой конец лежит на противоположной вершине стороне. Медианы, высоты и биссектрисы являются чевианами.
• а,в,с - чевианы треугольника MNK

M

в

с

а

N

K

Формулы высоты треугольника

H  - высота треугольника

a  - сторона, основание

b, c  - стороны

β ,  γ  - углы при основании

p  - полупериметр, p=(a+b+c)/2

R  - радиус описанной окружности

S  - площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны

Формула длины высоты через сторону и угол

Формула длины высоты через стороны и радиус, описанной окружности

Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике

H  - высота из прямого угла

a, b  - катеты

с  - гипотенуза

c 1   ,  c 2  - отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой

α ,  β  - углы при гипотенузе

Формула длины высоты через стороны

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

Формула длины высоты через катет и угол

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

L  - высота = биссектриса = медиана

a  - равные стороны треугольника

b  - основание

α  - равные углы при основании

β  - угол образованный равными сторонами

Теорема Стюарта: Квадрат любой чевианы равен отношению суммы произведения квадратов боковых сторон на несмежные с ними отрезки основания к длине основания без произведения этих отрезков

Теорема Стюарта

• Если даны треугольник ABC и на его основании BC точка D, лежащая между точками B и C, то имеет место равенство:

Длина биссектрисы, проведенной из прямого угла на гипотенузу:

L  - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)

a, b  - катеты прямоугольного треугольника

с  - гипотенуза

α  - угол прилежащий к гипотенузе

Формула длины биссектрисы через катеты, (  L ):

Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, (  L ):

Длина биссектрисы, проведенной из острого угла на катет:

L  - биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла

a, b  - катеты прямоугольного треугольника

с  - гипотенуза

α, β  - углы прилежащие к гипотенузе

Формулы длины биссектрисы через катет и угол, ( L ):

Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, ( L ):

Формулы биссектрисы в произвольном треугольнике

L - биссектриса

a, b  - стороны треугольника

с  - сторона, на которую опущена биссектриса

d, e  - отрезки полученные делением биссектрисы

γ  - угол  ABC  , разделенный биссектрисой пополам

p  - полупериметр,  p =( a+b+c)/2

Длина биссектрисы через две стороны и угол между ними

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

Длина биссектрисы через три стороны

Длина биссектрисы через стороны и отрезки  d ,  e

Формулы медианы произвольного треугольника

M  - медиана, отрезок  |AO|

c  - сторона на которую ложится медиана

a, b  - стороны треугольника

γ  - угол  CAB

Формула длины медианы через три стороны

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними

Формулы медианы прямоугольного треугольника

M  - медиана

R  - радиус описанной окружности

O  - центр описанной окружности

с  - гипотенуза

a, b  - катеты

α  - острый угол  CAB

Формула длины через катеты

Формула длины через катет и острый угол

Задача №1

В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 см и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании.

Решение: Длину биссектрисы найдем по формуле:

а=с=20см, в=5см, р=(20+20+5):2=22,5см

с=20

а=20

L

в=5

Задача №2

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 4 см, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание, если медиана равна 3 см.

Решение: Применим теорему Стюарта:

2

4

2

3

m

Задача №3

Основание треугольника равно 20 см, медианы боковых сторон равны 18 и 24 см. Найти площадь треугольника.

Решение: Применим

В

Д

Р

18

24

С

20

А

• Задача №4 .
• Сторона AB треугольника ABC равна 3, BC=2AC, E - точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, DE=1. Найти сторону AC. Решение:

Литература:  

•                 Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней школе. Сборник статей. Под редакцией П. В. Стратилатова. Москва — 1955.               
• Г. И. Глейзер. История математики в школе. 9–10 класс. Москва «Просвещение». 1983 Московский государственный университет им. Ломоносова. Математика.               
• И. Н. Сергеев, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, Задачи вступительных экзаменов (1993–1997). Москва 1998.               
• О. П. Зеленяк, Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Киев, Москва, ДМК, Пресс, 2008             
•    П. С. Моденов, Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения, Москва «Книга по требованию».              
•   Н. Рыбкина «Сборник задач по геометрии для 6–9 классов средней школы», часть I, Планиметрия, «Просвещение», 1964.                http://www.problems.ru             
•    Л. С. Атанасян и др, Геометрия: Доп.главы к шк.учеб.9кл.: Учебное пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч..математики. М.: Просвещение, 1997.