Чевианы треугольника

Этап урока

Содержание этапа

Деятельность

Слайды

Комментарии к слайду

Учителя

ученика

1. Организационный момент

Слайд 1

Здравствуйте, ребята.

Меня зовут Н.А. Я – учитель математики УООШ.

Сегодня, в рамках подготовки к ЕГЭ, мы поговорим о самой замечательной, на мой взгляд, геометрической фигуре – треугольнике.

Тема нашего занятия – ЧЕВИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА. Я не буду объяснять вам значение слова ЧЕВИАНА. Я предполагаю, что к концу этого урока вы сами дадите ему толкование.

Эпиграф к уроку: «Три пути ведут к знанию: путь размышлений – самый благодарный, путь подражания – самый легкий и путь опыта – это путь самый горький.» (Конфуций)

Пусть этот час будет для вас дорогой размышления, приобретения нового опыта и использования старого с новых позиций.

Работа с презентацией.

2. Актуализация знаний

2.1.

Слайд 2

Итак – главный герой нашего занятия – треугольник. А что это такое? Перед вами несколько высказываний о треугольнике. Какое из них можно считать определением треугольника?

Треугольник – это фигура, состоящая из трех точек

Треугольник – это фигура, состоящая из трех отрезков

Треугольник – это фигура, состоящая из трех углов

Треугольник – это фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, соединяющих эти точки.

Работа с презентацией.

Вопрос:

Каков правильный ответ?

Ответ:

На слайде нет верного определения треугольника.

Треугольник – это фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

2.2.

Слайд 3

Для понимания материала сегодняшнего занятия повторим метрические соотношения в треугольнике. А чтобы процесс повторения не был скучным, проведем его в виде игры «Банкиры».

Условия игры:

В ходе игры участвуют две команды, каждая из которых представляет правление банка. Игроки выбирают президента банка. Президент от имени правления отвечает на предложенные в ходе игры задания различной стоимости (либо посоветовавшись с правлением, либо самостоятельно), тем самым увеличивая активы своего банка.

Банки – конкурирующие организации. У банков общая денежная единица - 1 «ум». У каждого банка – начальный стартовый капитал – 5 «умов».

Командам предлагаются по очереди задания различной стоимости. Если команда дает правильный ответ, то ее стартовый капитал увеличивается на стоимость задания. В противном случае – капитал уменьшается на стоимость задания, если на предложенный вопрос ответила другая команда и на половину стоимости задания, если на предложенный вопрос никто не ответил.

А сейчас проведем отборочный тур с целью выяснить, какая из команд начнет игру первой.

Работа с презентацией.

Раздать листочек со словами: ВД – это ….

Допустимы сокращения слова вплоть до одной буквы. Скорость и правильность !!!

2.3.

Слайд 4

Задание отборочного тура

В треугольнике АВС АВ = ВС, АD = DС.

Напишите не менее пяти терминов, характеризующих ВD.

Работа с презентацией.

P.S. Если количество ответов совпадает – жеребьевка (орел, решка)

Ответы

Медиана, биссектриса

высота, ось симметрии, ГМТ, равноудал. от А и С,

сер перпендикуляр к АС, чевиана, недиана,

2.4.

Слайд 5

Задание 1 стоимостью в 1 ум

Исключи лишнее слово в классификации треугольников

А. Остроугольные Б. Равнобедренные

В. Прямоугольные Г. Тупоугольные

Работа с презентацией.

Ответ Б.

2.5

Слайд 6

Задание 2 стоимостью в 1 ум

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны -

А. ^высота Б. би^{ссектриса} В. ^{ср. линия} Г. медиана

Работа с презентацией.

У вас есть возможность заработать еще по 1 «уму», если вы ответите на вопросы: что такое высота, медиана, биссектриса треугольн.

Ответ Г.

М. – отрезок …

Б. – это отрезок биссектрисы угла тр-ка, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны.

В. – перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содерж, прот. стор.

2.6

Слайд 7

Задание 3 стоимостью в 2 ума

Какой треугольник с данными сторонами не существует ?

А. 3см, 4см, 5см

Б. 3см, 4см, 7см

В. 2см, 4см, 5см

Г. 3см, 5см, 5см

Работа с презентацией.

Напомнить неравенство треугольника

Ответ: Б.

2.7

Слайд 8

Задание 4 стоимостью в 2 ума

Какие числа соответствуют сторонам египетского треугольника?

А. 10, 15, 20 Б. 7, 8, 11

В. 1, 2, 3 Г. 3, 4, 5

Работа с презентацией.

Уточнить, как по длинам сторон определить вид треугольника

Ответ: Г

2.8

Слайд 9

Задание 5 стоимостью в 3 ума

Для треугольника АВС справедливо равенство:

Теорема косинусов для ВС

Работа с презентацией.

Дополнительный вопрос на 1 «ум» о нахождении углов по теореме косинусов.

Ответ: В

2.9

Слайд 10

Задание 6 стоимостью в 3 ума

По теореме синусов

А. стороны треугольника обр. пропор синусам противолеж углов

Б. стороны треугольника пропорцион синусам прилежащих углов

В. стороны треугольника пропорцион синусам противол. углов

Г. стороны треугольника обр. пропорц. синусам прилежащ углов

Работа с презенацией.

Ответ: В

2.10

Слайд 11

Задание 7 стоимостью в 3 ума

Какая из приведенных ниже формул не является формулой для нахождения площади треугольника?

Работа с презентацией.

Ответ: А

2.11

Слайд 12

Задание 8 стоимостью в 3 ума

Центр окружности, описанной около треугольника – это точка пересечения

А. биссектрис

Б. медиан

В. высот

Г. серединных перпендикуляров

Работа с презентацией.

Уточнить: точка пересечения биссектрис – центр вписанной окр.

Дополнительные вопросы на 1 «ум»

Какими свойствами обладают медианы и биссектрисы треугольника?

Ответ: Г

2.12

Слайд 13

Задание 9 стоимостью в 4 ума

Кто открыл формулу Герона?

«Метрика» (Μετρική) Герона - справочник по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений: Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон, открытая Архимедом

Работа с презентацией.

Ответ: Б (Архимед)

2.13

Слайд 14

Задание 10 стоимостью в 4 ума

Кто автор изречения: «Природа говорит языком математики, буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры» ?

А. С.Ковалевская

Б. М.В.Ломоносов

В. И.Ньютон

Г. Г.Галилей

Работа с презентацией.

Ответ: Г

(Галилео Галилей)

3. Постановка целей урока

Итак, в ходе игры мы повторили материал, относящийся к решению треугольников.

Однако при решении многих задач на «треугольник» этих знаний бывает недостаточно. Полезно взять на вооружение еще несколько формул на количественные соотношения в треугольнике, связанные с медианами, высотами и биссектрисами треугольника, а также формулы для вычисления их длин высот, медиан и биссектрис.

Раздать справочный материал по треугольнику

4. Основная часть

4.1. Свойства медианы треугольника

Слайд 15

Свойства медианы треугольника

1. Медиана меньше полусуммы прилегающих сторон.

2. Медиана рассекает треугольник на два равновеликих треугольника

Работа с презентацией.

Слайд 16

1. Три медианы пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1 , начиная от вершины.

2. Три медианы рассекают треугольник на

6 равновеликих частей

Работа с презентацией.

Задача: Медианы треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см.

Найти отрезки, на которые они делятся точкой пересечения

Ответ

2ч + 1 ч = 9 6 см и 3 см

2ч + 1 ч = 9 8 см и 4 см

2ч + 1 ч = 9 10 см и 5 см

1. Решение задач на свойства медианы

Слайд 17

Задача 1.

Дан треугольник АВC со сторонами ВС = а, АС = b, АВ = c. Найти медиану, проведенную к стороне ВС

Работа с презентацией.

Совместный вывод формулы

У учеников РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ:

Свойства медиан

Записывают вывод формулы длины медианы

Слайд 18

Задача 2

Дан треугольник АВC со сторонами ВС = 9, АС = 7, АВ = 8. Найти медиану, проведенную к стороне АВ

АВ = с Найти m_c

Работа с презентацией.

Решают предложенные задачи: Задача 2.

АВ = с Найти m_c

Записывают формулу для m_c

m_c = 7

Слайд 19

Задача 3

Медианы треугольника равны 9, 12 и 15. Найдите площадь треугольника.

Задача 4

Основание треугольника равно 20 см, медианы боковых сторон равны 24 и 18 см. Найти площадь треугольника

Порекомендовать самостоятельно решить задачу 4 (д/з)

Реш.ение задачи 3.

Прием – до парал.ВАСД

Стороны тр. ВМД – 6,8 и 10 , он прямоугольн., Его площадь 24 см²

Площадь тр. ВМА₁ - 12

Площадь тр.АВС - 72

1. Свойства биссектрисы треугольника

Слайд 20

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.

ВЕ – биссектриса. АЕ:ЕС = ВА : ВС

Задача 5.

Найти отрезки, на которые биссектриса угла В треугольника АВС делит сторону АС, если а = 6,

b = 7, c= 8

Ответ: 4 см и 3 см

Найдем ВЕ.

ВЕ = 6 см

Работа с презентацией.

Вспоминаем еще раз свойства биссектрис треугольника

Ответы

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром.

Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.

ВЕ – биссектриса. АЕ:ЕС = ВА : ВС

Записывают реш. зад 5

1. Вывод формулы длины биссектрисы

Слайд 21

Вывод формулы длины биссектрисы (план)

Работа с презентацией.

Составить формулы для двух других биссектрис

Слайд 22

Презентация формулы

Работа с презентацией.

Вернуться к слайду 19

Проверить формулу для задачи 5

1. Решение задач

Слайд 23

Задача 6.

В треугольнике PQR длина биссектрисы РО равна 6, отношение длин отрезков QO и OR равно 3:4, периметр треугольника PQR равен 21. Чему равен косинус угла QPR?

Работа с презентацией.

Слайд 24

Задача 7.

В треугольнике АВС длина стороны АВ равна 18, длина биссектрисы АЕ равна 4√15, а длина отрезка ЕС равна 5.

Определите периметр треугольника АВС.

Задачу 7

предложить решить самостоятельно

1. Подведение итогов

Слайд 25

ЧЕВИАНА – это ..

Итоги соревнований банков

И еще мне хочется вернуться к словам великого Конфуция относительно дорог к знаниям и услышать от вас

Каков был ваш путь к знаниям на сегодняшнем занятии: подражания, опята или размышления?

СПАСИБО1

Работа с презентацией.

Весь урок говорили о медианах, биссектрисах. К сожалению, время не позволило нам поговорить о высотах треугольника.

Почему же тема нашего мероприятия - ЧЕВИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА?

Ответ

Чевиана – это отрезок, соединяющий вершину и точку на противоположной стороне.