Число Ньютона, определение.

Тема: Вычисление числа Ньютона (количества шаров единичного радиуса, которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n-мерном Евклидовом пространстве), в общем случае.

Автор: Мустафаев Рустем Эйвасович, 02.03.1968 г.р.

Аннотация: Лишь циркулем и линейкой построены 14 равных кругов (шаров), касающихся в 14-ти точках с центральным шаром; Получено геометрическое решение темы.

Ключевые слова: касание шаров; кривизна; R шара; горизонтальный диаметр; вертикальный диаметр; число Ньютона; 14.

Решим задачу по определению числа Ньютона геометрически, только с помощью линейки без делений и циркуля. Ставим линейку углом 90° (), в центр заданного шара (в проекции на плоскости это круг), проводим два взаимоперпендикулярных радиуса…Продлеваем радиусы, образуя два взаимоперпендикулярных диаметра (под углом = 90°). Они пересекут круг, его край, в четырех взаимопротивоположных точках. Эти точки, две из них, будут точками пересечения двух равных кругов, с заданным кругом (шаром), такого же радиуса, – точки касания. Циркулем от этих точек, зная радиус, определяем центры шаров (кругов) и строим их…Получено два равных шара, верхний и нижний, касающихся с начальным шаром в началах вертикального диаметра (лежат на окружности шара)…Горизонтальный диаметр будет ориентиром для построения еще четырех касающихся шаров…Продлим диаметр в обе стороны (прямая «а»). От точки пересечения «а» с заданным шаром (кругом), Ƶ, – отложим |ƵK| = |BƵ| = R шара (циркулем), получим точку К. Из точки К образуем дугу окружности с R = |ƵK|, (как у начального шара)…Из центра круга «1» проведем касательную «b» к кругу с центром B, – получим точку касания N. Из точки N построим дугу окружности с R начального шара, |BƵ| = |ƵK|…Точкой пересечения дуг будет Х, – центр третьего (на рисунке 6-й) шара, с R = |BƵ|; Построим его…Аналогично строим следующий шар (2-й на рисунке)…В оставшихся промежутках строим остальные два шара (на рис. 3-й и 5-й)…Для этого можно из центров 2-го и 6-го (Х) шаров провести перпендикуляры через прямую «а», и циркулем отложить на них от точки Y расстояния |X, Y|. Получим центры двух оставшихся кругов (шаров), построим их… Таким образом, в передне-заднефронтальных плоскостях (проекциях), передне-заднелатеральных плоскостях, – другими словами, -спереди-сзади; слева-справа, – к заданному шару прилегает, касаются в шести точках шесть шаров…

Определим количество касающихся шаров сверху и снизу…Очевидно, что сверху и снизу, на рельефе (поверхности) из шести фронтально-латеральных шаров, – можно расположить одинаковое количество шаров, т.к. условия равные. Эти шары смогут расположиться как на рис. снизу, – шар с центром О и точками касания M и N.

При смещении равного шара от поверхности шаров (1; 2; 3; 4; 5; 6) к поверхности центрального шара, в центре В, учитывая кривизну шаров, – шар будет скатываться, немного опускаясь вниз.

В точке касания с центральным шаром, – точке N, – он остановится, перекрыв часть поверхности центрального шара…Возможность геометрического построения четырех равных шаров, касающихся центрального, с образованием пустот (промежутков в виде ∆MQN), – показывает очевидность расположения четырех касающихся шаров сверху и снизу, всего восемь.

ВЫВОД: Геометрическим построением показана возможность размещения 14-ти касающихся равных шаров, чему и равно число Ньютона (14).

Литература:

1.М.Зорич «Геометрия,11 класс».