Интеграл. Лекция.

Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенным интегралом в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [а, в], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:

Данная формула так же называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления.

Свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:

4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

ПРИМЕРЫ: Вычислить интеграл:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Применение определенного интеграла

к вычислению площадей плоских фигур

Как известно, определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции (геометрический смысл определенного интеграла):

.

С помощью определенного интеграла можно также вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций.

Площадь всякой плоской фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси или к оси

Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:

1. По условию задачи делают схематический чертеж.

2. Представляют искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.

3. Записывают каждую функцию в виде .

4. Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.

1) Площади фигур, расположенных над осью

Пусть на отрезке функция принимает неотрицательные значения, т.е. для любого . Тогда график функции расположен над осью .

Если фигура, расположенная над осью , является криволинейной трапецией, то ее площадь вычисляется по известной формуле

или ,

где у находится из уравнения кривой.

2) Площади фигур, расположенных полностью или частично над осью

Пусть на отрезке задана неположительная непрерывная функция , т.е. для любого . Тогда график функции расположен под осью .

Если фигура, расположенная под осью , является криволинейной трапецией , то ее площадь вычисляется по известной формуле

или ,

где у находится из уравнения кривой.

Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения. Тогда нужно разбить отрезок на такие части, в каждом из которых функция не изменяет знак, затем по приведенным выше формулам вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить. Например, площадь фигуры такова:

3) Площади фигур, прилегающих к оси

Если криволинейная трапеция прилегает к оси ординат и ограничена непрерывной кривой , прямыми , и осью (рис.8), то ее площадь вычисляется по формуле

4) Симметрично расположенные плоские фигуры

Если кривая расположена симметрично относительно оси координат или начала координат, то можно упростить вычисления, определив половину площади и затем удвоив результат.