Как будто простая задача

Самовар, вмещающий 30 стаканов, полон воды. Вы подставляете стакан под его кран и, с часами в руках, следите по секундной стрелке, во сколько времени он наполняется до краев. Оказывается: ровно в полминуты. Теперь я задаю вам вопрос: во сколько времени опорожнится весь самовар, если оставить кран открытым?

Казалось бы, здесь простая арифметическая задача: один стакан вытекает в ½ минуты, – значит, 30 стаканов выльется в 15 минут.

Но сделайте опыт. Окажется, что самовар опоражнивается не в четверть часа, как вы ожидали, а в полчаса!

В чем же дело? Ведь расчет так прост!

Прост, – но не верен. Нельзя думать, что скорость истечения с начала до конца остается одна и та же. Когда первый стакан вытек из самовара, струя течет уже под меньшим давлением, и потому медленнее; понятно, что второй стакан наполнится в больший срок, чем полминуты; третий вытечет еще ленивее, и т. д.

Скорость истечения всякой жидкости из отверстия в открытом сосуде зависит от высоты столба жидкости, стоящего над отверстием. Торичелли, ученик Галилея, первый указал на эту зависимость и выразил ее формулой:

где v – скорость истечения, g – ускорение тяжести, а h – высота уровня жидкости над отверстием.

Если после истечения из самовара 20 стаканов уровень воды в нем (считая до отверстия крана) понизился в четыре раза, то 21‑й стакан наполнится вдвое медленнее, чем 1‑й. И если в дальнейшем уровень воды понизится в 9 раз, то для наполнения последних стаканов понадобится уже втрое больше времени, чем для наполнения первого. Все знают, как медленно и вяло вытекает вода из крана самовара, который уже почти опорожнен.

На основании этого закона можно доказать, что время, нужное на полное опорожнение сосуда, в два раза больше, чем то время, в течение которого вылился бы такой же объем жидкости при неизменном первоначальном уровне.