Проект по математике 11 класс

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ШКОЛА № 9» города СМОЛЕНСКА

Секция «Предметов естественно-математического цикла»

Задачи на смеси и сплавы

(учебное исследование)

Выполнил работу: Вехтев Александр Сергеевич,

учащийся 11 класса

Руководитель: Филатова Татьяна Юрьевна,

учитель математики

Смоленск

2020

Оглавление

1. Введение

   1. Актуальность выбранной темы

   2. Цель работы

   3. Задачи работы

2. Теоретическая часть

   1. Основные понятия

   2. Классификация

   3. Основные этапы решения

   4. Способы и методы решения

      1. «Правило креста»

      2. Табличный

      3. «Правило смещения»

      4. Использование расчетной формулы

      5. Графический метод

3. Примеры решения задач

   1. На понижение и повышение концентрации

   2. На «высушивание»

   3. На смешивание растворов разных концентраций

   4. На переливание

4. Заключение

Введение

Актуальность: В 2002 году впервые заговорили об итоговой аттестации. В 2009 году эти реформы ввели. Знаний, которые даются в учебнике общеобразовательного курса, недостаточно, чтобы успешно сдать ЕГЭ.

Моя научно-исследовательская работа посвящена вопросу изучения решения экзаменационных задач повышенного и высокого уровня. В работе рассмотрены решения задач и составлены алгоритмы решения задач на смеси, растворы и сплавы ЕГЭ.

Эту тему я выбрал потому, что:

1. Чтобы хорошо сдать ЕГЭ, чаще всего, ученики, как и я должны самостоятельно разбирать задания повышенной трудности. Выполняя исследовательскую работу по этой теме, я смогу не только сдать проект, но и основательно подготовиться к экзамену.

2. Создавая этот проект и разбирая задания у доски на уроках в нашей школе, мы поможем нашим одноклассникам повысить балл на ЕГЭ.

Цели работы: исследовать методы решения заданий, входящих в экзаменационные материалы ЕГЭ, разрушить стереотип о сложности заданий 2 части ЕГЭ, а также лучше подготовить себя и своих одноклассников к успешной сдаче этого экзамена.

Задачи:

1. Собрать теоретический материал, необходимый для решения заданий 2 части ЕГЭ;

2. Структурировать этот материал;

3. Привести примеры возможных заданий и разобрать их;

4. Сделать свой сборник типичных заданий;

5. Представить продукт перед классом и указать им на то, что задания 2 части ЕГЭ нуждаются во внимании и могут быть довольно простыми.

Теоретические сведения, которые могут понадобиться для решения задач на сплавы и растворы:

1% =

Формула процентов от числа выглядит следующим образом:

C = , где A – исходное число; B – количество процентов;

C – искомый результат.

Если нужно найти число по его проценту, можно воспользоваться следующей формулой:

С = , где А – общее количество предметов; В – количество процентов; С – искомая величина.

Основными компонентами на растворы и сплавы являются:

• масса раствора (смеси, сплава) (М р-ра);

• масса вещества (m в-ва);

• доля (% содержание) вещества ( %).

% = * 100%

m (в-ва) = * М (р-ра)

М (р-ра) =

Предполагают, что:

а) все получившиеся смеси и сплавы являются однородными;

б) смешивание различных растворов происходит мгновенно;

в) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов;

г) объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.

Также для решения таких задач необходимо уметь решать:

• Системы уравнений первой и второй степени;

• Все виды квадратных уравнений;

• Линейные уравнения.

Классификация задач на смеси и сплавы

Задачи бывают:

• На понижение и повышение концентрации

• На «высушивание»

• На смешивание растворов разных концентраций

• На переливание

Основные этапы решения:

1. Выбор неизвестной (или неизвестных).

2. Выбор чистого вещества.

3. Переход к долям.

4. Отслеживание состояния смеси.

5. Составление уравнения.

6. Решение уравнения (или их системы).

7. Формирование ответа.

Способы решения задач на растворы, смеси и сплавы:

1. “Правило креста”

“Правилом креста” называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами.

Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху-большая), на пересечении отрезков - заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают в каком отношении надо слить исходные растворы.

1. При решении задач удобно составлять следующую таблицу.

1. “Правило смешения”

Воспользуемся формулой (4): 

тогда 

Отсюда

Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго равно отношению разности массовых долей смеси и второго раствора к разности массовых долей первого раствора и смеси.

Аналогично получаем, что при 

Замечание: Формула (5) удобна тем, что на практике, как правило, массы веществ не отвешиваются, а берутся в определенном отношении.

1. С помощью расчетной формулы:

В наших обозначениях, получим формулу для вычисления массовой доли вещества (?) в смеси.

1. Масса полученного при смешивании раствора равна:

m(р-ра) = m1(р-ра) + m2(р-ра).

1. Определим массы растворенных веществ в первом и втором растворах:

m1(в-ва)=  •m1(р-ра), m2(в-ва)= •m2(р-ра).

1. Следовательно, масса растворенного вещества в полученном растворе вычисляется как сумма масс веществ в исходных растворах:

m(в-ва) = m1(в-ва) + m2(в-ва) =  •m1(р-ра) +  •m2(р-ра).

1. Таким образом, массовая доля растворенного вещества в полученном растворе равна:

или

или

где  - массы соответствующих растворов.

1. Графический метод:

Отрезок прямой (основание графика) представляет собой массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости 

Полученная функциональная прямая позволяет решать задачи по определению массы смешанных растворов и обратные, по массе смешанных растворов находить массовую долю полученной смеси.

Построим график зависимости массовой доли растворенного вещества от массы смешанных растворов. На одной из осей ординат откладывают точку, соответствующую массовой доли  , а на другой -  . Обозначим на оси абсцисс точки А и В с координатами (0,0) и (m1 + m2,0), соответственно. На графике точка А(0,0) показывает, что массовая доля всего раствора равна  , а точка В(m1 + m2,0) - массовая доля всего раствора равна  . В направлении от точки А к точке В возрастает содержание в смеси 2-го раствора от 0 до m1+ m2 и убывает содержание 1-го раствора от m1+ m2 до 0. Таким образом, любая точка на отрезке АВ будет представлять собой смесь, имеющую одну и ту же массу с определенным содержанием каждого раствора, которое влияет на массовую долю растворенного вещества в смеси.

Замечание: Данный способ является наглядным и дает приближенное решение. При использовании миллиметровой бумаги можно получить достаточно точный ответ.

Разбор решения задач

Задачи на понижение и повышение концентрации:

Задача №1

Сироп содержит 18% сахара. Сколько килограммов воды нужно добавить к 40 кг сиропа. Чтобы содержание сахара составило 15%?

Решение: Пусть надо добавить x кг воды. Заполним таблицу.

Так как масса сахара не изменилась. То составим и решим уравнение:

0,15(40+х)=0,18*40

х=8

Ответ: 8 кг.

Задача №2

Сколько граммов воды нужно добавить к 5%-й йодной настойке массой 100 г, чтобы концентрация йода уменьшилось до 1% 

 Пусть надо добавить x г воды. Заполним таблицу 

Так как масса йода не изменилась, то составляем уравнение: 

0,01(х + 100) = 5;
0,01х = 4; откуда х = 400 г.

Ответ: 400 г.

Задачи на высушивание:

Задача №1

Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от воды. Нектар содержит 84% воды, а полученный мёд - 20%. Сколько кг нектара нужно переработать пчелам для получения 1 кг мёда?

Решение:

84 80

100

20 16

Значит, 1 кг составляет 16 частей, тогда 80 частей:

1 : 16 * 80 = 5 кг.

Ответ: 5 кг.

Задачи на смешивание растворов:

Задача №1

Один раствор содержит 20% соли, а второй 70%. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 г 50%-го солевого раствора?

Решение:

20 20

50

70 30

Значит , 100 г смеси составляют 50 частей .

100 : (30+20)= 2 г.(одна часть)

2*30=60 г. (70% р-р)

2*20=40 г. (20% р-р)

Ответ: 60 г - 70% и 40 г -20%

Задача №2

Сергей смешал раствор, содержащий 20% кислоты и раствор, содержащий 40% той же кислоты. В итоге у него получился раствор, содержащий 32,5% кислоты, причём объём полученного раствора 4 литра. Сколько литров раствора, содержащего 20% кислоты, использовал Сергей при смешивании?

Решение:

Пусть x литров раствора, содержащего 20% кислоты использовал Сергей при смешивании, тогда 4−x литров раствора, содержащего 40% кислоты использовал Сергей при смешивании,   0,2x – объём кислоты в растворе, содержащем 20% кислоты, 0,4(4−x) – объём кислоты в растворе, содержащем 40% кислоты. Так как в итоге кислоты оказалось 0,325⋅4=1,3 литра, то:

0,2x +0,4(4−x) =1,3, откуда находим x=1,5.

Ответ: 1,5

Задача №3

Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.

Решение:

0.1• 500+0,55• 400=900• х

900х=270

х=270/900

х=0,3

Ответ: 30%

Задачи на переливание:

Задача №1

В сосуде А содержится 3 литра 17-процентного водного раствора вещества Х. Из сосуда В в сосуд А перелили 7 литров 19-процентного водного раствора вещества Х. Сколько процентов составляет концентрация полученного в сосуде А раствора?

Решение:

Концентрация в процентах – это отношение объёма вещества к объёму смеси, умноженное на 100%.

До переливания в сосуде А было 3⋅0,17=0,51 литра вещества Х, в сосуде В было 7⋅0,19=1,33 литра вещества Х.

После переливания объём вещества Х в сосуде А стал 0,51+1,33=1,84 литра, а объём всего раствора 3+7=10 литров.

Тогда концентрация в процентах составила

1,84/10⋅100%=18,4%.

Ответ: 18,4

Заключение

Мной были рассмотрены несколько различных методов решения задач на смеси, растворы и сплавы. При этом практически было доказано, что прийти к верному ответу задачи можно, используя любой из рассмотренных выше способов решения, даже самый простой.

Однако стоит отметить, что, несмотря на внешние различия в ходе решения задач различными способами, все они в своей основе имеют общую схему. Как уже отмечалось ранее, каждый из рассмотренных методов опирается на знание понятий «концентрация вещества» и «процентное содержание вещества в растворе».

Литература

1. М. И. Водингар, Решение задач на смеси, растворы, сплавы / М. И. Водингар, Г. А. Лайкова. – Математика в школе. - 2001. - №4.

2. Задачи на смеси, растворы и сплавы / Библиотека «Первое сентября». – 2009. - №31

Интернет-ресурсы:

 https://shkolkovo.net/catalog/syuzhetnye_tekstovye_zadachi/na_rastvory_smesi_i_splavy

https://multiurok.ru/files/rieshieniie-zadach-na-smiesi-i-splavy-pri-podghoto.html

https://oge.sdamgia.ru/test?theme=79

16