Разбор задания №13 ЕГЭ математика базового уровня

Подготовка к ЕГЭ 2025 год

задание 13

Базовый уровень

В спецификации контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ (базовый уровень) в качестве проверяемого результата обучения применительно к заданию 13 указывается « Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы ».

Уровень сложности — базовый.

Максимальный балл за выполнение задания — 1.

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) — 8.

В подготовке к выполнению задания №13 ЕГЭ по математике важны все три составляющие:

- знание теории;

• наличие практических навыков решения задач разных типов;
• умение увидеть решение и использовать знания из разных разделов для решения поставленной задачи

Призмы

Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.

В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, мы получаем разные названия призм.

Треугольная  призма — в основаниях  треугольники.

Четырехугольная  призма — в основании четырехугольник (и так далее).

Также разделяют прямые и наклонные призмы.

Наклонная призма  — призма, боковые грани которой находятся не под прямым углом к основанию.

Прямая призма  — призма, боковые грани которой перпендикулярны основаниям (боковые ребра перпендикулярны основаниям).

Правильная призма  —  это  прямая  призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Боковые грани  правильной призмы  — равные прямоугольники.

То есть в правильной треугольной призме в основании правильный треугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

В правильной четырехугольной призме в основании лежит квадрат, а боковые ребра перпендикулярны основаниями (и так далее).

В рамках заданий экзамена ЕГЭ мы будем встречать особые виды призм.

Один из видов призм, с которыми придется достаточно часто встречаться — параллелепипед.

Параллелепипед  — призма,  грани  которой  являются параллелограммами.

Прямой параллелепипед  — призма,  основания  которой являются 

параллелограммами, а  боковые грани — прямоугольниками.

Прямоугольный параллелепипед  — призма,  все грани  которой являются

прямоугольниками.

Куб  — призма,  все грани  которой являются  квадратами

Площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности можно найти как сумму площадей боковых граней.                    

Площадь всей поверхности призмы.

Чтобы найти площадь всей поверхности призмы, необходимо к площади боковой поверхности добавить две площади основания.

Объем призмы.

Пирамиды

Пирамида  — многогранник, одна из граней которого — произвольный многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Правильная пирамида  – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, высота падает в его центр, а боковыми гранями являются равные равнобедренные треугольники.

Правильный тетраэдр  – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.               

В правильной пирамиде высота падает в точку пересечения биссектрис, медиан и высот основания

Если боковые ребра пирамиды равны, то высота падает в центр описанной окружности.

Площадь боковой поверхности можно найти как сумму площадей боковых граней, однако если речь идет о правильной пирамиде, то можно найти площадь одной грани и умножить на их количество.

Особый элемент в боковых гранях пирамиды: апофема  – высота боковой грани пирамиды.

Чтобы найти площадь всей поверхности пирамиды, нам необходимо к площади боковой поверхности прибавить площадь основания.

Объем пирамиды

где S — площадь основания, а h — высота пирамиды

Цилиндр

Эта объемная фигура получена вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через центр прямоугольника.

Цилиндр имеет  два круга  в основаниях и  образующую  (то, что соединяет основания).

Радиус основания – R, образующая цилиндра – H.

Осевое сечение цилиндра  проходит через ось цилиндра и  перпендикулярно плоскостям оснований. В сечении получается  прямоугольник, одна сторона которого будет образующей (высотой), а другая будет диаметром.

Площадь боковой поверхности  цилиндра – это площадь развертки (если как бы « разрезать» цилиндр  по образующей и расправить боковую часть). В таком случае мы  получим прямоугольник, одной стороной которого будет являться образующая (высота), а другой стороной будет являться дуга окружности.

Чтобы найти полную площадь поверхности, необходимо просто  к площади боковой   прибавить две площади основания.

Объем цилиндра  находится через 

произведение площади основания на высоту цилиндра. При этом стоит вспомнить, что площадь основания (площадь круга) находится как число пи, умноженное на квадрат радиуса.

Конус

Эта объемная фигура получена путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов. Образующая — l, высота — h , радиус основания — r.

Осевое сечение  конуса представляет собой  равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются образующими конуса, а основание — диаметр основания конуса.

Развертка конуса - сектор некоторой

окружности с радиусом, который 

равен образующей.

Площадь всей поверхности находится как сумма площади боковой поверхности и площади основания

Объем конуса

Шар/сфера

Шар  ( заполненный внутри ) – это геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой отстоят на равном расстоянии от центра.

Сфера  ( пустая внутри ) – поверхность, образованная

вращением контура.

Радиус — единственная величина, от которой зависят объем и площадь поверхности шара.

Площадь поверхности:

Объем шара:

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 и 5. Найдите высоту этой пирамиды, если её объем равен 60.

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 12 и 5. Найдите высоту этой пирамиды, если её объем равен 60.

Решение

Объем пирамиды равен где S   — площадь основания, а

h   — высота пирамиды. Зная площадь основания, можно найти высоту:

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 40, боковое ребро равно 101. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 40, боковое ребро равно 101. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды

Решение.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Апофему найдем по теореме Пифагора как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого  — боковое ребро, а другой катет  — половина стороны основания:

Тогда площадь боковой поверхности

Ответ: 11 880

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3√ 6

:

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3√ 6

Решение.

С помощью теоремы Пифагора найдём высоту грани пирамиды ( h 1 ):

Также с помощью теоремы Пифагора найдём высоту пирамиды ( h 2 ):

Найдём площадь основания пирамиды:

Найдём объём пирамиды

Ответ: 72.

  В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB, АС и AD взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если АВ = 6, АС = 18 и AD = 8.

  В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB, АС и AD взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если АВ = 6, АС = 18 и AD = 8.

Решение.

Объем пирамиды можно найти по формуле:

В данной пирамиде

А высотой выступает отрезок h = AC = 18. Получаем объем пирамиды:

Ответ:  144

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 9 и 4. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 48.

Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота — 147 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 23 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.

В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB, AC и AD взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если AB=3, AC=18 и AD=7.

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 6, а боковое ребро SA перпендикулярно основанию и равно  4 √ 3. Найдите объём пирамиды SABC.

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 6, а второго — 3 и 4. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго?

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 6, а второго — 3 и 4. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго?

Решение.

Площадь боковой поверхности первого конуса можно найти по формуле:

где R – радиус основания; l – длина образующей. Получаем отношение площадей боковых поверхностей для первого и второго конусов:

Ответ:  2,5

Объём конуса равен 128. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3

считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Объём конуса равен 128. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3 считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Решение:

• Отношение высот малого и большого конуса: так как плоскость, параллельна основанию, отсекает малый конус, который подобен большому конусу. При этом отношение высот малого и большого конусов равно отношению 1/(1+3) = 1/4
• Отношение объемов подобных фигур равно кубу отношения их линейных размеров (например, высот): v/V=(1/4) 3 =1/64
• Найдем объем малого конуса v: v=1/64∗V=1/64∗128=2

Ответ: 2

Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 10.

Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 20.

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 2, а второго — 2 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 2 и 5, а второго — 5 и 6. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

Решение.

Площади шаров относятся как квадраты их радиусов, следовательно, площадь первого шара в (6/2) 2 =9 больше площади второго.

Ответ: 9 .

Даны два шара с радиусами 12 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Даны два шара с радиусами 12 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Решение.

1. Объёмы шаров относятся как кубы отношений их радиусов.

Радиус большего шара в 3 раза больше радиуса меньшего, поэтому их объёмы относятся как 3 3 = 27. 

2. Найдём отношение объёмов шаров:

Ответ: 27.

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

Решение.

Масса шара прямо пропорциональна его объёму. Объёмы шаров относятся как кубы их радиусов:

Следовательно, масса второго, меньшего шара равна

Ответ: 48.

Однородный шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

Даны два шара с радиусами 6 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

Даны два шара с радиусами 7 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH , по теореме Пифагора:

Треугольники AOH и OHB   — прямоугольные, OH   — общая, стороны AO и OB равны как радиусы окружности, следовательно, треугольники равны по двум катетам,

откуда АН=НВ=9. Значит, АВ=2АН=2*9=18

Площадь сечения  — площадь прямоугольника со сторонами 18 и 14

S=18*14=252      

Радиус основания цилиндра равен 20, а его образующая равна 8. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 19. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 9. Найдите площадь этого сечения.

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Домашнее задание:

задание № 13 в сборнике для подготовки к ЕГЭ

варианты 1-10

Спасибо за урок!