Симметрия вокруг нас

Министерство образования Республики Башкортостан Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа села Красный Ключ муниципального района Нуримановский район Республики Башкортостан

Тема «Симметрия вокруг нас»

Исследовательская работа по математике

Выполнил:

Малмыгин Владимир,

МАОУ СОШ с. Красный Ключ,

5А класс

Руководитель:

Сенова Анастасия Сергеевна,

учитель математики

Красный Ключ

2019 год

2. Оглавление

I. Введение 3

II. Основная часть 5

1. Что такое симметрия? 5

1.1 Заглянем в словарь… 5

1.2 Виды симметрии в геометрии. 5

2. Симметрия вокруг нас. 8

2.1 Симметрия в живой природе. 8

2.2 Симметрия в неживой природе. 9

2.3 Симметрия в архитектуре, скульптуре. 9

2.4 Симметрия в архитектуре нашей Республики Башкортостан. 9

2.5 Музыка и симметрия. 10

2.6 Симметрия в литературе и русском языке. 10

2.7 Симметрия в предметах декоративно-прикладного искусства. 11

2.8 Симметрия в технике. 11

III. Заключение. 12

IV. Список литературы. 13

V. Приложения 14

I. Введение

О симметрия! Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю.
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты в елочке, что у лесной дорожки.
С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,
И снежный рой – творение мороза!

Г. Вейль.

Впервые с понятием, что такое симметрия, мы познакомились на уроках математики, но на тему «Симметрия» было отведено очень мало времени, а мне показалась эта тема интересной. И тогда я решил взять ее для исследования. Мне захотелось узнать как можно больше о симметрии, потому что услышал данный термин на других предметах, а затем и в быту. Приступив к исследованию, я заметил, что симметрия не только математическое понятие, она проявляется как нечто прекрасное в живой и неживой природе, а также в творениях человека.

Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах.

Ее широко используют многие направления современной науки. Принцип симметрии играет важную роль в математике и физике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, и даже в поэзии и музыке. Отметим, например, симметрию, свойственную кленовому листу и бабочке, автомобилю и самолёту, атомной структуре молекул и кристаллов, зданий и бордюров, орнаментов и моделей одежды, ритмическому построению стихотворения и музыки. Таким образом, симметричность творений природы оказывает существенное влияние на творчество человека.

...Симметрия мира – одно из самых впечатляющих представлений современной науки. Движение вправо и влево, вверх и вниз; левое и правое вращение винта, положительное и отрицательное...

Цели работы:

-изучение понятия симметрии и её видов (центральная, осевая, поворотная, зеркальная )

-изучение многообразия симметрии и ее использование на практике;

-выяснить: симметрия это:

-красота?

-гармония?

-устойчивость?

-равновесие?

Этапы исследовательской работы:

. выбор интересующей темы исследования,

· обсуждение плана исследования и промежуточных результатов,

· работа с разными информационными источниками;

· промежуточные консультации с учителем.

II. Основная часть

1. Что такое симметрия

1.1 Заглянем в словарь

Само понятие «симметрия» связано с понятием красоты или гармонии, оно произошло из Древней Греции (5 в. до н.э.). Греческое слово  означает нечто гармоничное, соразмерное, пропорциональное в объекте.

Одно из наиболее популярных определений понятия симметрии принадлежит немецкому математику Герману Вейлю: симметрия – есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.

“Симметрия (от греческого symmetria - «соразмерность») - понятие, означающее сохраняемость, повторяемость, «инвариантность» каких-либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований». В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота».

В словаре С.И. Ожегова мы встречаем такое определение: симметрия - соразмерность, пропорциональность в расположении частей чего-нибудь по обе стороны от середины, центра.

1.2 Виды симметрии.

Существуют две группы симметрий.

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

Я остановлюсь на изучении геометрической симметрии.

В свою очередь, геометрической симметрии существует тоже несколько видов: центральная, осевая, зеркальная (симметрия относительно плоскости) радиальная (или поворотная), переносная и другие. Я рассмотрю 5 видов симметрии.

Центральная симметрия.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если они лежат на прямой, проходящей через т. О и находятся по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии. Точка О называется центром симметрии.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающими центральной симметрией является окружность и параллелограмм.

Фигуры, изображённые на слайде симметричны, относительно некоторой точки

Осевая симметрия.

Две точки F и T называются симметричными относительно прямой L, если эта прямая проходит чрез середину отрезка FT и перпендикулярна к нему. Также следует сказать, что каждая точка прямой Lсчитается симметричной сама себе. Прямая L – ось симметрии.

Фигура называется симметричной относительно прямой L, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой L также принадлежит этой фигуре.

Прямая L называется осью симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают неразвёрнутый угол, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольник и ромб, буквы.

Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости).

Две точки Р1 и Р называются симметричными относительно плоскости а, если они лежат на прямой, перпендикулярной плоскости а, и находятся от неё на одинаковом расстоянии.

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку. Она связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура зеркально симметрична другой.

На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. В пространстве бесчисленное множество плоскостей симметрии имеет шар.

Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым основанием, шар.

Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична.

Поворотная симметрия (или радиальная симметрия).

Поворотная симметрия — это симметрия, сохраняющаяся форму предмета при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … Указанную ось называют поворотной осью n-го порядка.

Симметрия подобия.

Симметрии подобия представляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрий с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки.

2. Симметрия вокруг нас.

2.1 Симметрия в живой природе.

Сначала мы рассмотрим проявление симметрии в живой природе. Почти все живые существа построены по законам симметрии. Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120°, для колокольчика – 72°, для нарцисса – 60°. В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света, хотя сами листья тоже имеют ось симметрии.

Симметрия встречается и в животном мире. Однако в отличие от мира растений симметрия в животном мире наблюдается не так часто.

Рассмотрим, например, бабочку.

Мы ее можем мысленно разделить вдоль на две зеркально равные части. Даже пятнистый узор на ее крыльях подчиняется такой геометрии. Можно сказать, что каждое животное состоит из правой и левой половин. Например, правое и левое ухо, правый и левый глаз, правый и левый рог и т.д.

Отметим, наконец, зеркальную симметрию человеческого тела (речь идёт о внешнем облике и строении скелета).

2.2 Симметрия в неживой природе.

Каково же проявление симметрии в неживой природе? Именно кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии.

Раньше снежинки рассматривали исключительно как один из вариантов кристаллизированного вещества. Учёные задались вопросом, почему они все разные и в то же время симметричные.

В итоге выяснилось, что снежинка – это группа кристалликов, образованная более чем из двухсот ледяных частичек.

Снежные кристаллы образуются из расположенных в безупречном порядке молекул воды. Каждая снежинка формируется из шестиугольной молекулы воды, поэтому все снежинки шестиугольные.

Существует две основные формы снежинок – шестиугольная пластинка и шестиугольная звёздочка. Но в их пределах возможны самые различные комбинации, сейчас их насчитывают около 130.

2.3 Симметрия в архитектуре, скульптуре.

Увидев проявление симметрии в природе, мне захотелось узнать, применяет ли человек эти закономерности в своих творениях.

Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к  симметрии.

Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре и в скульптуре.

2.4 Симметрия в архитектуре нашей Республики Башкортостан

Во время прогулок по нашей Республики Башкортостан можно удивляться архитектурными творениями прошлых столетий и современными строениями.

2.5 Музыка и симметрия.

Симметрия часто используется и в других видах искусства. В том числе в музыке. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр. – круг). В рондо  музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трёх раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой тональности, и наоборот.

2.6 Симметрия в литературе и русском языке.

Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии.

Вертикальная ось симметрии: А; Д; Л; М; П; Т; Ф; Ш.

Горизонтальная ось симметрии: В; Е; З; К; С; Э; Ю.

И вертикальные, и горизонтальные оси симметрии: Ж; Н; О; Х.

Ни вертикальные, ни горизонтальные оси: Б; Г; И; Й; Р; У; Ц; Ч; Щ; Я.

В русском языке есть симметричные слова – палиндромы, которые можно читать одинаково в двух направлениях:

Шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп.

Могут быть палиндромическими и предложения. Написаны тысячи таких предложений. Например:

«А роза упала на лапу Азора».

«А луна канула».

ВОР БОБРОВ .

ИСКАТЬ ТАКСИ.

АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА.

ЦЕНИТ НЕГРА АРГЕНТИНЕЦ.

ШОРОХ ХОРОШ.

2.7 Симметрия в предметах декоративно-прикладного искусства.

Принцип симметрии используется в построении орнамента.

Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений.

Трудно встретить человека, не любовавшегося орнаментами. Один из примеров – это обои, которыми оклеивают стены.

2.8 Симметрия в технике.

Еще один пример использования человеком симметрии в своей практике - это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например, на руле грузовика или на штурвале корабля. Одним из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

III. Заключение.

Изучив и исследовав тему «Симметрия вокруг нас» я узнал, что помимо осевой, зеркальной и центральной видов симметрии, которые мы изучаем в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например, поворотная, винтовая.

Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Анализируя всю собранную мной информацию, можно сказать, что существуют различные виды симметрии, симметричные точки в каждом из этих видов симметрии строятся по определённым законам. В жизни мы повсюду встречаемся с тем или иным видом симметрии, а часто у предметов, которые нас окружают, можно отметить сразу несколько видов симметрии. Это создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.

Значит, симметрия это – гармония и красота, равновесие, устойчивость.

IV Список литературы:

1. Вейль Г. Симметрия. - М.: Едиториал УРСС, 2003.   

2. Гончарова С.Г., Кукин Г.П. Конструктор «В мире симметрии» //Математика в школе. – 1996. - № 3. – С. 60.

3. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.

4. Интернет ресурсы

www.likt590.ru/project/matematika/5/,sapr.mgsu.ru/biblio/arxitekt/arhkomp2.htm,www.fondcultura.ru/htmls/method/texts_history/architecture.htm, ru.wikipedia.org/wiki/

http://simmetria.narod.ru/foto17_1.jpg http://simmetria.narod.ru/foto17_2.jpghttp://simmetria.narod.ru/foto17_3.jpghttp://simmetria.narod.ru/foto17_4.jpg

http://tmn.fio.ru/works/04x/307/images/ocevay3.gifhttp://tmn.fio.ru/works/04x/307/images/ocevay4.gif

V. Приложения.

С имметрия в цветах и листьях.

Симметрия в ягодах.

С имметрия в архитектуре.

Симметрия в архитектуре Республики Башкортостан

Симметрия в предметах декоративно-прикладного искусства.

21