Системы счисления

Содержание

Системы счисления 2

История развития систем счисления 2

Двоичная система счисления 3

Вычитание в двоичной системе счисления 3

Умножение в двоичной системе счисления 4

Контрольная работа. 5

Деление в двоичной системе счисления 6

Решение примеров на умножение и деление 7

Перевод чисел из 10-ой системы счисления в двоичную 7

Перевод чисел из 10-ой системы счисления в двоичную 8

Перевод чисел из любой системы счисления в 10-ую 9

Рейтинг-олимпиада (решение задач повышенной трудности) 10

Восьмеричная система счисления. 10

Арифметические операции в 8-ой системе счисления 11

Шестнадцатеричная система счисления 11

Самостоятельная работа 12

Перевод чисел из 2-ой системы счисления в 8-ную и 16-ную 12

Перевод чисел из 8-ой, 16-ой систем счисления в 2-ую. 13

Решение примеров на перевод. 13

Контрольная работа. 14

Каждый день мы с вами используем слова «число» и «цифра». А что означают эти слова?

Определение: Цифра – это символ, участвующий в записи числа.

Под числом будем понимать его величину, а не его символьную запись. Число изображается несколькими символами (цифрами) некоторого алфавита.

Определение: Система счисления – это совокупность правил для обозначения и наименования чисел; способ представления числа символами некоторого алфавита (цифрами).

Системы счисления делятся на:

непозиционные

позиционные

Определение: Непозиционной называется такая система счисления, в которой величина числа не зависит от положения цифры в числе, т.е. число определяется как сумма или разность цифр в числе.

Например: римская система счисления.

Определение: Система счисления называется позиционной, если значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Например: десятичная система счисления.

Группы систем счисления

I. Анатомического происхождения:

1. 10-ная

2. 5-ная

3. 12-ная

4. 20-ная

II. Алфавитные:

1. славянская

2. древнеармянская

3. древнегрузинская

4. древнегреческая (ионическая)

III. Машинные:

1. 9-ная

2. 8-ная

3. 16-ная

IV. Прочие:

1. вавилонская (60-ная)

2. римская

3. египетская

Домашнее задание: написать реферат.

Для подготовки реферата – литература:

1. Мир чисел

2. Энциклопедии

3. История математики в России

4. «За страницами учебника математики»

5. Я познаю мир

План реферата:

1. Где была распространена, как развивалась и где сохранилась.

2. Алфавит.

3. Примеры записи чисел.

4. Использованная литература.

Алфавит: 0,1.

Свойства сложения: 0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

При сложении необходимо учитывать возможные переносы единиц из младших разрядов в старшие.

Примеры:

А) +10101 б) +1001 в) +1101 г) +110111

1010 1010 1011 11010

11111 10011 11000 1010001

д) +101011 е) +100001

11101 110010

1001000 1010011

Примеры для самостоятельного решения раздаются на карточках. Отдельно записаны ответы. Необходимо решить примеры и найти соответствие между номерами примеров и номерами ответов.

1. 10010011+1011011=11101110 7

2. 10110111+10011011=101010010 2

3. 10011101+11101101=110001010 9

4. 10010111+1011100=11110011 15

5. 11101001+10011101=110000110 1

6. 11010011+11011011=110101110 11=6

7. 11001011+11011011=110100110 8

8. 11101111+10111111=110101110 6=11

9. 10101010+11001100=101110110 12

10) 10110011+1010101=100001000 4

11) 110011001+111011101=1101110110 14

12) 100110011+101110111=1010101010 3

13) 110111011+101010101=1100010000 16

14) 110111011+110110110=1101110001 10

15) 11011101+100110011=1000010000 5

16) 101110110+101100111=1011011101 13

Записать на полях тетради: 1+1=10

1+1+1=11

1+1+1+1=100

1+1+1+1+1=101

1+1+1+1+1+1=110

Домашнее задание: Те примеры, которые не успели решить в классе. Часть примеров проверяется у доски, остальные по номерам ответов.

1. Повторить свойства сложения.

2. Свойства вычитания: 1-0=1

0-0=0

1-1=0

10-1=1

1. Примеры разбираются у доски учителем:

А) -100010 б) -100001 в) –1010001 г) - 1010100

101 110 101 1011

11101 11011 1001100 1001001

д) -100111 е) - 100100 ж) - 110011 з) - 101110

10111 10111 11101 11010

10000 1101 10110 10100

и) - 10011101 к) - 10111011

1101101 1011101

110000 1011110

1. Примеры для самостоятельного решения.

Примеры раздаются на карточках. Варианты возможных ответов записываются на доске.

Нужно найти соответствие между множеством примеров и множеством ответов.

К доске для решения примеров вызываются слабые ученики.

! Вычитание всегда можно проверить сложением.

1. 10110011-10001000=101011 3

2. 11001100-10111011=10001 8

3. 110101110-10111111=11101111 11

4. 110100110-11001011=11011011 4

5. 110101110-11011011=11010011 6

6. 110000110-10011101=11101001 1

7. 11110011-10010111=1011100 7

8. 101001010-11101101=1011101 10

9. 101010010-10011011=10110111 5

10) 11101110-1011011=10010011 9

11) 1010111001-11101110=111001011 12

12) 111110101-10110111=100111110 2

Домашнее задание: примеры, которые не успели в классе.

I.Опрос.

• Что такое система счисления?

• Назовите системы счисления анатомического происхождения?

• Объясните анатомическое происхождение 5-ой, 10-ой, 12-ой, 20-ой систем счисления?

• Где и как сегодня используются 12-ая, 60-ая, 20-ая системы счисления?

• Почему возникновение 10-ой системы счисления считается одним из важнейших достижений человеческой мысли?

• Какова причина того, что 10-ая система счисления стала общепринятой?

• Правильно ли называть цифры 10-ой системы счисления арабскими?

• Какие системы счисления называются позиционными и непозиционными?

• Римская система счисления: чем она удобна, правила записи чисел, где используется?

II.Повторение сложения и вычитания:

1. 10101+101=11010 5) 1010100-11=1010001

2. 11010+1011=100101 6) 1010001-101=1001100

3. 10101+1011=100000 7) 100000-1011=10101

4. 1010100+111=1011011 8) 100010-101=11101

III. Свойства умножения: 0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Примеры:

А) *1011 б) *10001 в) *11010 г) *11001

11 11 101 1101

1011 10001 11010 11001

1011 10001 11010 11001

100001 110011 10000010 11001

101000101

д) *111101

1011

111101

111101

111101

1010011111

IV. Примеры для самостоятельного решения.

1. 111101*111101=111010001001 2

2. 100001*111111=100000011111 11

3. 111110*100010=100000111100 12

4. 100011*111101=100001010111 6

5. 111100*100100=100001110000 3

6. 100101*11011=1111100111 7

7. 111010*100110=100010011100 10

8. 100111*111011=100010101111 4

9. 111000*101000=100011000000 8

10) 101001*110111=100011001111 5

11) 110110*101010=100011011100 9

12) 101011*110101=100011100111 1

Проверить примеры №10-12 из домашнего задания.

I-в.

1. 10010011+1011011=11101110

2. 11101001+10011101=110000110

3. 10010111+1011100=11110011

4. 11001011+11011011=110100110

5. 10101010+11001100=101110110

6. 100001000-10110011=1010101

7. 110101110-10111111=11101111

8. 11011011-1101011=1110000

9. 11110011-10010111=1011100

10) 101010010-10011011=10110111

11) 100001*111111=100000011111

12) 100011*111101=100001010111

13) 100101*111011=100010000111

14) 100111*111001=100010101111

15) 101001*110111=100011001111

II-в.

1. 1011101+11101101=101001010

2. 10110111+10011011=101010010

3. 11010011+11011011=110101110

4. 11101111+10111111=110101110

5. 10110011+1010101=100001000

6. 11001100-1011101=1101111

7. 11001011-1101001=1100010

8. 110000110-10011101=11101001

9. 101001010-10011011=10101111

10. 11101110-1011011=10010011

11. 111110*100010=100000111100

12. 111100*100100=100001110000

13. 111010*100100=100000101000

14. 111000*101000=100011000000

15. 110110*101010=100011011100

Домашнее задание: повторить все правила.

I. Повторить свойства и правила сложения и вычитания.

У доски: 1101011+11011=

1011101+1011=

1110100-11=1110001

1010001-101=

111100*111110=111010001000

101111*110001=100011111111

II. Сначала разбираем у доски.

А) 100001/11 б) 10000010/11010

11 1011 1101 101

100 1101

11 1101

11 0

11

0

в) 11001100/110

11 100010

00011

11

0

III.Примеры для самостоятельного решения:

1. 11100110101:101101=101001 9

2. 100011111100:110010=101110 10

3. 100011001111:110111=101001 9

4. 100001110000:111100=100100 11

5. 111010000101:111111=111011 6

6. 101000100101:110101=110001 2

7. 100011110111:101101=110011 1

8. 111010001001:111101=111101 8

9. 11111100101:101011=101111 4

10) 100011011100:110110=101010 5

11) 1110100001000:111100=111110 3

12) 101111001101:110101=111001 12

13) 100011111111:101111=110001 2

14) 100010000111:111011=100101 7

15) 101011110101:110111=110011 1

IV. Домашнее задание: примеры №9-12.

1. Опрос

2. Проверить домашнее задание

3. Решение примеров:

1. 101001*101101=11100110101

2. 101110*110010=100011111100

3. 110111*101001=100011001111

4. 100100*111100=100001110000

5. 111111*111011=111010000101

6. 111110*100010=100000111100

7. 111010*100110=100010011100

8. 111000*10100=10001100000

И примеры №13-15 (предыдущего урока)

1. Опрос.

Повторить правила операций сложения, умножения в двоичной системе счисления.

1. Объяснить, что все системы счисления связаны между собой. Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

2. Записать в словари алгоритмы и примеры.

Алгоритм перевода целого числа:

1. Делить данное число и получаемые неполные частные на 2 до тех пор, пока не получили неполное частное равное 0

2. Составить число в двоичной системе счисления, записывая остатки от деления, начиная с последнего остатка.

Примеры:

11/2

10 5/2

1 4 2/2

1 2 1/2

0 0 0

1

11₁₀ =1011₂

Алгоритм перевода дробной части:

1. Дробную часть умножаем на 2 до тех пор, пока в правой части не получим 0, или не будет достигнута необходимая точность вычислений.

2. Составить число, записывая его начиная с первой целой части.

Примеры:

*0,5625

2

* 1,1250

2

* 0,250

2

* 0,50

2

1,0

0,5625₁₀ = 0,1001₂

Алгоритм перевода смешанных чисел

1. Отдельно перевести целую и дробную части

2. Записать результат.

Примеры:

17,25₁₀ = 10001,01₂ 12,24₁₀= 1100,0011₂

17₁₀ = 10001₂ 12₁₀ =1100₂

Решение примеров:

1. 513₁₀ =1000000001₂

2. 600₁₀=1001011000₂

3. 602₁₀=1001011010₂

4. 1000₁₀ =11111010001₂

1. Опрос.

Алгоритмы перевода целых, дробных, смешанных чисел из 10-ой системы счисления в двоичную.

1. Решение примеров.

А) 1) 2304₁₀ = 100100000000₂

2) 5001₁₀ = 1001110001001₂

3) 7000₁₀ = 1101101011000₂

4) 8192₁₀ = 10000000000000₂

б) 5) 0,4622₁₀ =0,011101₂

6) 0,5198₁₀ = 0,100001₂

7) 0,5803₁₀ = 0,100101₂

8) 0,6124₁₀ = 0,100111₂

9) 0,7351₁₀ = 0,101111₂

10) 0,7982₁₀ = 0,110011₂

11) 0,8544₁₀ = 0,110110₂

12) 0,9321₁₀ = 0,111011₂

В) III. Домашнее задание

13) 40,5₁₀ = 101000,1₂

14) 31,75₁₀ = 11111,11₂

15) 124,25₁₀ = 1111100,01₂

16) 173,2₁₀ = 10101101,00110

17)33,28₁₀ = 100001,010001₂

1. Опрос.

Правила перевода чисел из 10-ой системы счисления в любую другую.

Что такое основание системы счисления?

1. Перевод в 10-ую систему счисления осуществляется по степенному ряду.

Любое число в 10-ой системе счисления можно представить в следующем виде:

284₁₀ = 2*100+8*10+4*1= 2*10² +8*10¹+4*10⁰=284₁₀

Это и есть представление числа в виде степенного ряда.

Все цифры числа умножаем на степень десятки, так как число в 10-ой системе счисления.

Давайте представим в этом виде число 2102₃, оно записано в 3-ой системе счисления, значит будем каждую цифру числа умножать на степень числа 3:

1) 2102₃ = 2*3³+1*3²+0*3¹+2*3⁰=54+9+0+2=65₁₀

Алгоритм: само число представляем в виде суммы произведений степеней основания системы счисления на цифры числа.

1. Решение примеров:

6 5 4 3 2 1 0

1) 1101011₂ = 2⁶*1+2⁵*1+2⁴*0+2³*1+2²*0+2¹*1+2⁰=107₁₀

2) 6104₈ = 8³*6+8²*1+8¹*0+8⁰*4=3140₁₀

3) 29₁₆=16¹*2+16⁰*9=41₁₀

4) 128₁₆= 16²*1+16¹*2+16⁰*8=296₁₀

5) 4226₈ = 2198₁₀

6) 101011₂ = 43₁₀

7) 1000₁₆ =

8) 342₈ =

9)11111₂ = 31₁₀

10)6234₁₆ = 25140₁₀

1. Повторение:

1) 240₁₀=

2)12,25₁₀=

3) 3842₁₀=

4) 573₁₀=

5) 975₁₀=

Условия 10 задач разложены на партах. Ребята самостоятельно решают задачи. В конце урока подводим итоги, проверяем решение у доски.

Вспомнить особенности 2-ой системы счисления.

Записать в словари алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7

Заполнить таблицу:

1. Перевести числа из 10-ой системы счисления в 8-ую.

1. 395₁₀ = 613₈

2. 149₁₀ = 225₈

3. 1023₁₀ = 1777₈

4. 1500₁₀ = 2734₈

5. 1777₁₀ = 3361₈

1. Сформулировать правила арифметических операций в 8-ой системе счисления и решить примеры.

1) 770₈ + 236₈ = 1226₈

2) 715₈ + 373₈=1310₈

3) 524₈ + 57₈=603₈

4) 712₈+763₈=1675₈

5) 3217₈+765₈=4204₈

1. Самостоятельная работа. 8) 7213₈-537₈=6454₈

6)5731₈+1376₈=7327₈ 9) 7125₈-756₈=6157₈

7) 6351₈+737₈=7310₈ 10) 531₈-452₈=57₈

1. Повторить алфавит 8-ой системы счисления.

Правила перевода чисел из 10-ой системы счисления в 8-ую.

Правила арифметических операций.

1. Решение примеров.

1. 776472+ 763342=1762034

2. 532661+257721=1012602

3. 354243+467566=1044031

4. 432077+645662=1277761

5. 273462-156777=114463

6. 700056-365762=312074

7. 300064-212373=65471

8. 2101,01-735,4567=1143,3311

1. Опрос:

Правила перевода, правила арифметических операций.

II. Записать в словарь алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

III. Заполнить таблицу.

IV. Перевести числа в 16-ую систему счисления.

1. 395₁₀ = 18B₁₆

2. 149₁₀ = 95₁₆

3. 1023₁₀ = 3FF₁₆

4. 1500₁₀ = 5DC₁₆

5. 1777₁₀ = 6F1₁₆

1. Решить примеры

1. 207₁₆+3d4₁₆=5db

2. 118₁₆+da₁₆=1f2

3. a25₁₆+b9df₁₆=c404

4. b3bc+ae1=be9d

5. e47d+bf2=f06f

6. d58+ec0e=f966

1. Домашнее задание

1. 1) 51₁₀=33₁₆

2) 3914₁₀=f4a₁₆

3) 96₁₀=60₁₆

4) 6403₁₀=1903₁₆

5) 1a3+67=20a

6) 2bc+907=bc3

7) d2c+9797=a4c3

8) 2ca9+b62f=e2d8

1. 1b33-fad=b86

VII. Перевести числа из одной системы счисления в другую

1) 2b₁₆ = 43₁₀

2) 623e₁₆ =25150₁₀

3) 1000₁₆ = 4096₁₀

4) 12f₁₆ = 303₁₀

5) 3842₁₀=182₁₆

6) 573₁₀=23d₁₆

7) 975₁₀=6f₁₆

I вариант.

Перевести:

1) 31,5₁₀=11111,1₂

2) 124,25₁₀=1111100,01₂

3) 489₁₀=751₈

4) 2277₁₀=8e5₁₆

5) 110011₂=51₁₀

6) 11010₂=26₁₀

7) 7512₈=3914₁₀

8) fad₁₆=4013₁₀

9) 2749₁₀=5275₈

10) 114₈=76₁₀

II вариант.

Перевести:

1) 40,75₁₀=101000,11₂

2) 173,5₁₀=10101101,1₂

3) 141₁₀=215₈

4) 2377₁₀=949₁₆

5) 10011₂=19₁₀

6) 110101₂=53₁₀

7) 5327₈=2775₁₀

8) abc₁₆=2748₁₀

9) 2750₁₀=5276₈

10) 115₈=77₁₀

11) f2c7₁₆-bcb₁₆=e6fc₁₆

12) a4c3₁₆-d2c₁₆=9797₁₆

13) 7f10₁₆-5fac₁₆=1f64₁₆

14) abc₁₆+e57₁₆=1913₁₆

15) a39₁₆+19bc₁₆=23f5₁₆

11) ae53₁₆-cf8₁₆=a15b₁₆

12) e2d8₁₆-2ca9₁₆=b62f₁₆

13) a2fd₁₆-fda₁₆=9323₁₆

14) fad₁₆+b86₁₆=1b33₁₆

15) 9e6₁₆+b16f₁₆=bb55₁₆

I Работа над ошибками

1) 3915₁₀=f4b₁₆

2) 623e₁₆=251501₁₀

3) 45₁₀=101101₂

4) 4226₈=2198₁₀

5) 101100₂=44₁₀

6)110₂*1101₂=1001110₂

• Правила перевода целой и дробной части из 10-ой системы счисления в 2-ую

• Правила перевода чисел из 8-ой, 2-ой, 16-ой в 10-ую систему счисления.

II Алгоритм:

Для того, чтобы любое двоичное число перевести в систему счисления с основанием q=2ⁿ , нужно:

1. данное двоичное число разбить слева и справа от запятой на группы по n цифр в каждой.

2. если в последних правой и левой группах окажется меньше n цифр, то их надо дополнить справа и слева нулями до нужного числа цифр

3. рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2ⁿ .

III Решение примеров:

1. 10100010010110₂=24226₈

2. 10110011011011₂=26333₈

3. 11100110101001₂=34651₈

4. 1111011110100₂=17364₈

5. 110001000111110₂=61076₈

6. 110101011₂=653₈

7. 1100111000010₂=14702₈

8. 1100111011111001₂=

I Опрос.

Все правила перевода!

II Алгоритм:

Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2ⁿ перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в 2-ой системе счисления.

Например:

1. 4ac35₁₆=01001010110000110101₂

2. 41035₈=100001011101₂

III Решение примеров:

1. e69fd1d₁₆=1110011010011111110100011101₂

2. f7a0₁₆=1111011110100000₂

3. ae5d73b₁₆=1010111001011101011100111011₂

4. 2a10₁₆=10101000010000₂

5. 1234₈=001010011100₂

6. 1234₁₆=0001001000110100₂

7. f1f72₁₆=11110001111101110010₂

8. 2856₁₆=0010100001010110₂

I Опрос:

• алгоритм перевода из 10-ой системы счисления в любую другую

• алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в 10-ую

• алгоритм перевода из 8-ой и 16-ой систем счисления в 2-ную

• алгоритм перевода из 2-ой в 8-ую и 16-ую системы счисления

• сформулировать правила сложения в 16-ой системе счисления

• сформулировать правила вычитания в 8-ой системе счисления.

II Решение примеров:

1. 25₁₀=11001₂

2. 4820₁₀=11324₈

3. 4820₁₀=12d4₁₆

4. 235₈=157₁₀

5. 3da₁₆=986₁₀

6. 11100110101₂:101001₂=101101₂

7. 11100₂*10110₂=1001101000₂

8. 110011₂*1011₂=1000110001₂

9. 111010000101₂:111111₂=111011₂

10)f1a5₁₆=1111000110100101₂=170645₈

I вариант.

1. 2525₁₀=9dd₁₆

2. 2748₁₀=5274₈

3. 293₁₀=100100101₂

4. 114₈=76₁₀

5. 111100110101₂=7465₈=f35₁₆

6. b26a₁₆=1011001001101010₂=131152₈

7. a15b₁₆+cf8₁₆=ae53₁₆

8. 9323₁₆+fda₁₆=a2fd₁₆

9. 110101₂*110001₂=101000100101₂

10) 100011011100₂:101010₂=110110₂

11) 4204₈-765₈=3217₈

12) 1310₈-715₈=373₈

II вариант.

1. 2431₁₀=97f₁₆

2. 4043₁₀=7713₈

3. 107₁₀=1101011₂

4. 140₈=96₁₀

5. 100011111100₂=4374₈=8fc₁₆

6. f7ce₁₆=1111011111001110₂=173716₈

7. e6fc₁₆+bcb₁₆=f2c7₁₆

8. 1f64₁₆+5fac₁₆=7f10₁₆

9. 110011₂*101101₂=100011110111₂

10) 100010011100₂:111010₂=100110₂

11) 1675₈-712₈=763₈

12) 1226₈-736₈=270₈

15