Теорема Пифагора.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

8 класс, 2 ч

Содержание

Теорема Пифагора.
Применение теоремы Пифагора к решению задач.

Цель изучения

1. Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками.

2. Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора.

3. Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой.

Прогнозируемый результат

1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.

2. Уметь доказывать теорему Пифагора.

3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

План урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Сообщение учащегося о жизни Пифагора Самосского.

4. Историческая справка о теореме Пифагора.

5. Работа над теоремой.

6. Решение задач с применением теоремы.

7. Подведение итога урока.

8. Домашнее задание.

Оборудование

1. Чертежные инструменты.

2. Портрет Пифагора.

3. Стенд с различными доказательствами теоремы Пифагора.

4. Рисунки к устным задачам.

5. Презентация Microsoft Office PowerPoint.

Ход урока

… Прежде, чем приступить к изучению нового материала, вспомним определение косинуса угла и решим несколько устных задач.

• Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.

• Чему равен cos A на рисунке 1?

• Чему равен cos В на рисунке 2?

• Чему равны косинусы острых углов Δ CDE на рисунке 3?

Рис. 1 – 3

О т в е т:
1) cos A = 2 / 7; 2) cos В = 15 / 17; 3) cos C = 5 / 13, cos D = 12 / 13

Сегодня на уроке мы приступает к изучению одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением, но сначала послушаем рассказ о математике, именем которого она названа.

Из рассказа вы узнали, что союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма (рис. 4) – пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Рис. 4

У немецкого поэта Гёте в трагедии "Фауст", которую вы будете изучать на уроках литературы, описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо начерчена, и промежуток в уголке остался. Зачитаю вам эпизод.

Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72º. Именно это тип симметрии наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни (рис. 5), груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды (рис. 6) и панциря морского ежа.

Рис. 5, 6

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Откройте тетради, запишите число … и тему урока "Теорема Пифагора".

— Ребята, может быть, вы что-нибудь слышали о теореме Пифагора? (…)

— А ещё? (Пифагоровы штаны во все стороны равны.)

Действительно, это шуточная формулировка теоремы.

В современных учебниках теорема сформулирована так: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".

— Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 7)?

Рис. 7

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с² – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а² и b² – площади квадратов, построенных на катетах (рис. 8).

Рис. 8

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка 9 видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Рис. 9

Смотрите, а вот и "Пифагоровы штаны во все стороны равны" (рис.10):

Рис. 10

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи. Вот, например, такие (рис. 11, рис. 12):

Рис. 11, 12

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".

На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора.

В настоящее время их насчитывается более ста.

Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части. На стенде вы можете познакомиться с двадцатью тремя такими доказательствами.

А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке.

Т е о р е м а. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис. 13).

Рис. 13

Д а н о: Δ АВС, ∠ С = 90°.

Д о к а з а т ь: АВ² = АС² + ВС².

Д о к а з а т е л ь с т в о

1.Проведём высоту CD из вершины прямого угла С.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому

в Δ ACD   cos A = AD / AC,

в Δ АВС   cos А = AC / AB.

2.Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, AD / AC = AC / AB.

Отсюда, по свойству пропорции, получаем: АС² = AD · АВ.(1)

3.Аналогично,

в Δ ВCD   cos В = BD / BC,

в Δ АВС   cos В = BC / AB.

4.Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, BD / BC = BC / AB.

5.Отсюда, по свойству пропорции, получаем: ВС² = ВD · АВ.(2)

6.Сложим почленно равенства (1) и (2), и вынесем общий множитель за скобки:

АС² + ВС² = AD · AB + BD · AB = AB · (AD + BD).

Так как AD + BD = АВ, то АС² + ВС² = AB · AB = AB².

Получили, что АВ² = АС² + ВС².

Итак,

Ч. т. д.