Урок по теме "Различные методы решения уравнений". 11 класс

Урок по теме: Различные методы решения уравнений

Цель: обобщить, систематизировать, углубить знания и умения решения уравнений, применяя различные методы, формировать навыки их творческого применения во время решения уравнений разных степеней сложности. Развивать логическое мышление, память, внимание; воспитывать трудолюбие, самостоятельность.

Тип урока: обобщения и систематизации знаний.

Ход урока

I.Актуализация опорных знаний.

1. Конкурс – разминка «Мозговой штурм».

Учащиеся объединяются в четыре группы.

За каждый правильный ответ группа получает дополнительный балл.

Вопросы

1. Какое равенство называется уравнением?

2. Как записать в общем виде уравнение с одной переменной?

3. Что значит решить уравнение?

4. Какие виды уравнений вы знаете?

5. Какие способы решения уравнений вы знаете?

6. Какие стандартные типы уравнений вы знаете?

2. Устное решение уравнений.

1) Х⁸+5Х⁶+Х⁴+10Х²+95 = 0.

(корней нет, т.к. левая часть больше 0)

2) Х⁴ – 5Х²+7 = 0.

(корней нет, Д

3) 3Х²- 5Х + 2 = 0.

( 1; )

4) Х⁴ – 5Х²+ 4 = 0.

(±1; ±2)

5) Х⁴+ 2Х²+ 4 = cos .

(корней нет, левая часть больше нуля,

II. Проверка домашнего задания.

Учащиеся объединены в группы за методами решения уравнений. Они должны были подобрать уравнение, которое решается заданным методом. Каждая группа называет свой метод решения уравнений и объясняет, для решения каких уравнений он используется. Пример записывается на доске.

I группа. Разложение левой части на множители, когда правая равна 0.

Метод разложения на множители применяется для решения тригонометрических, показательных, логарифмических и др. уравнений, правая часть которых равна 0, а левую можно разложить на множители.

Пример. 3х³+ 4х²+ 4х +3 = 0.

3(х³+ 1) + 4х (х + 1) = 0,

3(х + 1) (х²- х + 1) + 4х (х + 1) = 0,

(х + 1) (3х²- 3х + 3 + 4х) = 0,

(х + 1) (3х²+ х + 3) = 0,

х = -1 или 3х²+ х + 3 = 0,

Д

Ответ. – 1.

II группа. Метод введения новой переменной.

Метод введения новой переменной применяется практически в уравнениях всех видов:

тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и алгебраических.

Пример. х²+2х + = 12.

х²+ 2х +8 + = 20.

Пусть = а, а , тогда

а² + а – 20 = 0,

а₁ = - 5 посторонний корень, а₂ = 4.

= 4,

х²+ 2х + 8 = 0,

х₁= - 4, х₂ = 2.

Ответ. -4; 2.

III группа. Приведение уравнений к стандартным типам.

Метод приведения уравнения к стандартному виду применяется, когда данное тригонометрическое, логарифмическое или показательное уравнение можно привести к стандартному виду, т. е. к уравнению квадратному, биквадратному, симметричному или возвратному.

Пример. 7^2х+1+ 3 · 28^х- 4^{2х + 1}= 0.

7 · 7^2х+ 3 · 7^х· 4^х-4 · 4^2х= 0.

Разделим обе части уравнения на 4^2х, имеем:

7 ·( ^2х+ 3 · ( )^х-4 = 0.

Пусть ( )^х= а, а , тогда 7а²+ 3а – 4 = 0,

а₁ = -1 - посторонний корень, а₂= _.

Следовательно, ( )^Х= ,

Х = - 1.

Ответ. – 1.

IV группа. Комбинирование разных методов.

Если какое-то из уравнений невозможно решить одним из ранее перечисленных методов, то для его решения комбинируют разные методы.

Пример. + = 4.

Пусть = а, х+6 =а³, х+2 = а³- 4.

Имеем:

а + =4,

= 4 – а,

а³- а²+ 8а – 20 = 0.

Числа ±1; ±2; ±4; ±5; ±10; ±20 могут быть корнями уравнения. Устной проверкой устанавливаем, что 2 является корнем уравнения.

(а³- а²+ 8а – 20): (а – 2) = а²+ а + 10.

Следовательно, (а – 2) (а²+ а + 10) = 0,

а = 2 или а²+ а + 10 = 0,

Д , корней нет.

Если а = 2, то = 2,

х + 6 =8,

х = 2.

Ответ. 2.

III. Решение уравнений.

Во время решения уравнения учащиеся передают мнимый «микрофон» тому, кто предлагает следующий шаг решения.

Решить уравнение

( + 2)( +3)( +8)( + 12) = 4 х.

Решение

1)Введем новую переменную = t. Тогда

(t 2)(t +3)(t + 8)(t + 12) = 4t².

2) Перемножим попарно скобки. Имеем:

(t²+ 14t + 24) (t²+ 11t + 24) = 4t².

3) Разделим обе части уравнения на t², t≠0.

(t + 14 + )(t + 11 + ) = 4.

4) Вводим новую переменную t + =y. Получим:

(у + 14) (у +11) = 4,

у²+ 25у + 154 – 4 = 0,

у² + 25у + 150 = 0,

у₁= -10, у₂= -15.

5) Решим уравнения:

t + = -10 или t + = -15.

a) t²+ 10t + 24 = 0.

t₁= -6. t₂= -4.

б) t²+ 15t + 24 = 0,

Д = 225 – 96 = 129,

t₁= ; t₂= .

6) Решить уравнение, подставив вместо t его значение.

а) = -6, х_{1 = -} arc + πn, nϵ Z ;

б) = - 4, х₂ = -arc + πк, кϵ Z ;

в) = , х₃= - arc + πm, mϵ Z;

г) = , х₄= -arc +πl, lϵ Z .

Самостоятельная работа.

Каждая группа должна решить два уравнения: одно – методом своей группы, второе – другими методами. Уравнение, решенное методом группы, остается, его можно использовать при проверке, второе уравнение отдают той группе, методом которой его решали.

I группа

Решить уравнение + + = 0.

Решение

2 + = 0,

= 0,

х = nϵZ.

х = ± + 2πк, кϵ Z.

II группа

Решить уравнение (х – 2) (х – 3) (х – 4) (х – 6) = 30 х².

Решение

(х²- 8х + 12) (х²- 7х + 12) = 30х²,

(х + – 8) (х + – 7) = 30.

Пусть х + = t , тогда (t – 8) (t – 7) = 30,

t²- 15t + 56 – 30 = 0,

t²- 15t + 26 = 0,

t₁= 13, t₂= 2,

х + = 13,

х²- 13х + 12 = 0,

х₁= 1, х₂= 12.

х + = 2,

х²- 2х + 12 = 0, корней нет.

III группа

Решить уравнение 4х) + = 8.

Решение

(4х) + 2 - = 8,

(4х) + 2 = 11,

(4х) + 2( – 2) = 11,

(4х) + 2 – 15 = 0.

Пусть = а, тогда а²+ 2а – 15 = 0, а₁= - 5; а₂= 3.

= - 5, или = 3,

4х = , 4х = 8,

х = . х = 2.

IV группа

Решить уравнение x x – 15 x + 36 x = 0.

Решение

x( x - 15 + 36 x) = 0,

x = 0,

x = , nϵ Z.

x – 15tgx + 36 = 0.

Пусть tg x = t, тогда t²- 15t + 36 = 0,

t₁=3, tgx = 3, x = аrctg3 + πm, mϵ Z.

V. Итог урока.

Есть ли универсальный способ решения уравнений?

Какой из способов решения уравнений используется чаще других?

На каком из способов вы хотели бы дольше остановиться и какие виды уравнений еще рассмотреть?

VI. Домашнее задание.

Учащимся раздаются карточки с заданиями. Они выбирают четыре уравнения, которые можно решить разными методами.

1. + = 4; 6) – 10·3^х= 2·3^х+3- 11·2^2х;

2) ; 7) 3·16^х+ 2·81^х= 5·6^2х;

3) + = 2; 8) + = ;

4) 3 - + 1 = 0; 9) (3х²+ 7х – 2)(8х²+ 7х – 2) = 24х⁴;

5) + 3 = 2; 10) = .