Вариант 4: Тренировочный вариант ОГЭ по математике 2018г.

Вариант № 4

1.  Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

2.  В таб­ли­це представлены нор­ма­ти­вы по тех­ни­ке чтения в 3 классе.

Какую от­мет­ку получит третьеклассник, про­чи­тав­ший в ап­ре­ле 68 слов за минуту?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) «2»

2) «3»

3) «4»

4) «5»

3.  На координатной прямой точками отмечены числа 

Какому числу соответствует точка D?

1)

2)

3)

4)

5.  На ри­сун­ке показано, как из­ме­ня­лась температура воз­ду­ха на про­тя­же­нии одних суток. По го­ри­зон­та­ли указано время суток, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние температуры в гра­ду­сах Цельсия. Най­ди­те разность между наи­боль­шим значением тем­пе­ра­ту­ры и наименьшим.

6. Решите уравнение 

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

7. Чайник, ко­то­рый стоил 800 рублей, продаётся с 5%-ой скидкой. При по­куп­ке этого чай­ни­ка по­ку­па­тель отдал кас­си­ру 1000 рублей. Сколь­ко руб­лей сдачи он дол­жен получить?

8. На диа­грам­ме пред­став­ле­ны не­ко­то­рые из круп­ней­ших по чис­лен­но­сти на­се­ле­ния стран мира.

Чис­лен­ность на­се­ле­ния ка­ко­го го­су­дар­ства при­мер­но в 6 раз мень­ше чис­лен­но­сти на­се­ле­ния Индии?

В от­ве­те напишите чис­лен­ность населения этой стра­ны в млн чел.

9. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 11 спортс­ме­нов из Рос­сии, 6 спортс­ме­нов из Нор­ве­гии и 3 спортс­ме­на из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен из Рос­сии.

10. Найдите зна­че­ние  по гра­фи­ку функции  изоб­ра­жен­но­му на рисунке.

11. Най­ди­те сумму всех по­ло­жи­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 11,2; 10,8; …

12.Найдите зна­че­ние выражения  при 

13. Мощ­ность по­сто­ян­но­го тока (в ват­тах) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле P = I²R, где I — сила тока (в ам­пе­рах), R — со­про­тив­ле­ние (в омах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те со­про­тив­ле­ние R (в омах), если мощ­ность со­став­ля­ет 588 ватт, а сила тока равна 7 ам­пе­рам.

14. Укажите неравенство, ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся любое число.

1) x² + 70 0

2) x² − 70 0

3) x² + 70

4) x² − 70

15. Найдите пе­ри­метр прямоугольного участ­ка земли, пло­щадь которого равна 800 м² и одна сто­ро­на в 2 раза боль­ше другой. Ответ дайте в метрах.

16. 

Углы, от­ме­чен­ные на ри­сун­ке одной дугой, равны. Най­ди­те угол  . Ответ дайте в градусах.

17.

В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD — диаметры. Цен­траль­ный угол AOD равен 50°. Най­ди­те вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

18. В тре­уголь­ни­ке одна из сто­рон равна 10, а опу­щен­ная на нее высота — 5. Най­ди­те площадь треугольника.

19. 

Най­ди­те тан­генс угла AOB, в треугольнике, изображённом на рисунке.

20. 

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Если утвер­жде­ний несколько, за­пи­ши­те их номера в по­ряд­ке возрастания.

21. 

Сократите дробь  

22. Моторная лодка про­шла 36 км по те­че­нию реки и вер­ну­лась обратно, по­тра­тив на весь путь 5 часов. Ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде.

23.Постройте гра­фик функ­ции  и най­ди­те все зна­че­ния k, при ко­то­рых пря­мая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку.

24. 

В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, CH — вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 16, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4.

25. В окруж­но­сти через се­ре­ди­ну O хорды BD про­ве­де­на хорда AC так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды AC.

26. Биссектриса CM тре­уголь­ни­ка ABC делит сто­ро­ну AB на от­рез­ки AM = 8 и MB = 13. Ка­са­тель­ная к опи­сан­ной окружности тре­уголь­ни­ка ABC, про­хо­дя­щая через точку C, пе­ре­се­ка­ет прямую AB в точке D. Най­ди­те CD.

Решение задач № 22-26

№ 22 Решение.

Обозначим  км/ч ис­ко­мую скорость. По те­че­нию реки лодка дви­га­лась ч. 
Против те­че­ния лодка шла  ч. По­лу­ча­ем урав­не­ние

.

Решим его:

Корни квад­рат­но­го уравнения: 15 и −0,6. Следовательно, ско­рость лодки равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

№ 23 Решение.

Раскрывая модули, получаем, что при  функ­ция при­ни­ма­ет вид  при функ­ция при­ни­ма­ет вид  а при  функ­ция при­ни­ма­ет вид 

График функ­ции изображён на рисунке.

Прямая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку при  при­над­ле­жа­щем множеству 

Ответ: 

№ 24 Решение.

В тра­пе­ции сред­няя линия равна по­лу­сум­ме оснований, по­это­му можем найти боль­шее ос­но­ва­ние  зная  и 

Проведём в тра­пе­ции вто­рую вы­со­ту  Тра­пе­ция равнобедренная, по­это­му  Рас­смот­рим два треугольника:  и , они прямоугольные, имеют рав­ные углы и  равно  следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны. Таким образом, равны от­рез­ки  и 

Также рас­смот­рим четырёхугольник , все углы в нём — прямые, следовательно, это прямоугольник, зна­чит, 

Теперь найдём длину от­рез­ка 

Ответ: 12.

№25 Решение.

Впи­сан­ные углы ADB, CBD , ACB и DAC опи­ра­ют­ся на рав­ные дуги, значит, они равны.

Получаем, что тре­уголь­ни­ки СOВ и AOD по­доб­ны по двум углам; их ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен BO:OD. Поскольку BO = OD , эти тре­уголь­ни­ки равны, следовательно, AO = OC.

№ 26 Решение.

Угол  равен по­ло­ви­не дуги на ко­то­рую он опирается, по­сколь­ку это угол, об­ра­зо­ван­ный ка­са­тель­ной к окруж­но­сти и секущей, проведённой через точку касания. Угол  — вписанный, по­это­му он также равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опирается. Углы  и  опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и угол  — общий, углы  и  равны, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да  Бис­сек­три­са угла делит сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка на отрезки, про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сторонам:  Получаем:

Найдём 

Ответ: