Делимость натуральных чисел

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«ХАКАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.Ф. КАТАНОВА»

(ФГБОУ ВО «ХГУ им. Н.Ф. Катанова»)

ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И МАТЕМАТИКИ

Кафедра физической культуры, спорта и безопасности жизнедеятельности

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль: Безопасность жизнедеятельности, Физическая культура

ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Выполнил:

Группа:

Курс:

Форма обучения:

Научный руководитель:

Абакан, 2025

Введение 3

Делители и кратные 4

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 6

Признаки делимости на 9 и на 3 8

Контрольные вопросы 10

Список литературы 11

Приложение А – Тестовые задания 12

Математика — это не только мир абстрактных формул, но и стройная система законов, которые управляют отношениями между числами. Одни из самых фундаментальных и полезных отношений — это отношения делимости.

Еще в глубокой древности люди заметили, что одни числа можно разложить на равные части без остатка, а другие — нет. Это свойство легло в основу счета, торговли, распределения ресурсов и создания календарей. Почему в часе 60 минут, а не 100? Почему год делится на 12 месяцев? Ответы на многие из этих вопросов тесно связаны с тем, как числа делятся друг на друга.

В этой теме мы откроем для себя язык, на котором говорят об этих отношениях. Мы узнаем, что такое делители числа (те «строительные кирпичики», из которых оно складывается) и кратные числа (его «потомки» в бесконечном числовом ряду). Мы освоим инструменты — признаки делимости, которые позволят, не производя долгих вычислений, определить, делится ли число на 2, 5, 10, 3 или 9. Понимание этих основ станет ключом к решению более сложных задач: нахождению общего знаменателя, упрощению дробей, разложению чисел на простые множители и даже к основам криптографии.

Остаток при делении числа 30 на 5 равен 0, так как 30 = 5 · 6. В этом случае говорят, что число 30 делится нацело на 5. Число 5 называют делителем числа 30, а число 30 — кратным числа 5.

Натуральное число a делится нацело на натуральное число b, если найдётся натуральное число с такое, что справедливо равенство a = b · c.

Если натуральное число a делится нацело на натуральное число b, то число a называют кратным числа b, а число b — делителем числа а.

Числа 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 также являются делителями числа 30, а число 30 является кратным каждого из этих чисел.

Заметим, что число 30 не делится нацело, например, на число 7. Поэтому число 7 не является делителем числа 30, а число 30 не кратно числу 7.

Как лучше говорить: «Число a делится нацело на число b», «Число b является делителем числа a», «Число a кратно числу b», «Число a является кратным числа b»? Всё равно, любой выбор будет верным.

Легко записать все делители числа 6. Это числа 1, 2, 3 и 6. А можно ли перечислить все кратные числа 6? Числа 6 · 1, 6 · 2, 6 · 3, 6 · 4, 6 · 5 и т. д. кратны числу 6. Получается, что чисел, кратных числу 6, бесконечно много. Поэтому всех их перечислить нельзя.

Вообще, для любого натурального числа a каждое из чисел a · 1, a · 2, a · 3, a · 4, … является кратным числа a.

Наименьшим делителем любого натурального числа a является число 1, а наибольшим — само число a.

Среди чисел, кратных a, наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число a.

Каждое из чисел 21 и 36 делится нацело на 3, и их сумма, число 57, также делится нацело на 3.

Вообще, если каждое из чисел a и b делится нацело на число k, то и сумма a + b также делится нацело на число k.

Рассмотрим пример.

Пусть каждое из чисел а и b не делится нацело на число k. Выскажем гипотезу: сумма a + b тоже не делится нацело на число k. Заметим, что каждое из чисел 4 и 8 не делится нацело на 3. При этом их сумма, число 12, делится нацело на 3. Следовательно, приведённая гипотеза неверна.

Пример, с помощью которого мы опровергли гипотезу, называют контрпримером. Каждое из чисел 9 и 7 не делится нацело на 5, и их сумма, число 16, не делится нацело на 5.

Таким образом, если ни число а, ни число b не делятся нацело на число k, то их сумма a + b может делиться, а может и не делиться нацело на число k.

Число 35 делится нацело на число 7, а число 17 на число 7 не делится нацело. Сумма 35 + 17 нацело на число 7 также не делится.

Вообще, если число a делится нацело на число k и число b не делится нацело на число k, то сумма a + b не делится нацело на число k.

Последняя цифра каждого из чисел 90, 210, 1 400 равна нулю. Все эти числа делятся нацело на 10. Действительно, каждое из них можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, одно из которых равно 10. Имеем: 90 = 9 · 10, 210 = 21 · 10, 1 400 = 140 · 10.

Последняя цифра числа 187 не равна нулю. Это число не делится нацело на 10. Действительно, можно записать: 187 = 180 + 7. Число 187 мы представили в виде суммы двух слагаемых, одно из которых делится нацело на 10, а другое — не делится. Из правила, сформулированного в предыдущем параграфе, следует, что такая сумма не делится нацело на 10.

Приведённые примеры иллюстрируют, как по записи натурального числа можно установить, делится оно нацело на 10 или нет.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0, то это число не делится нацело на 10.

Эти два утверждения называют признаком делимости на 10.

Найдём неполное частное и остаток при делении некоторых натуральных чисел на 10.

Имеем: 173 = 170 + 3 = 10 · 17 + 3; 4 258 = 4 250 + 8 = 10 · 425 + 8;

20 005 = 10 · 2 000 + 5.

Эти примеры иллюстрируют следующее: если натуральное число разделить на 10, то остаток будет равен числу, записанному последней цифрой этого числа.

С помощью последней цифры числа устанавливают и другие признаки делимости. Числа 2, 14, 26, 58 делятся нацело на 2. Натуральные числа, которые нацело делятся на 2, называют чётными.

Натуральные числа, которые не делятся нацело на 2, называют нечётными. Например, числа 3, 5, 17, 349, 10 001 — нечётные.

Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными. А как, не выполняя деления, установить чётность числа? И здесь помогает признак делимости.

Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число делится нацело на 2.

Если запись натурального числа оканчивается нечётной цифрой, то это число не делится нацело на 2.

Отметим, что все нечётные числа при делении на 2 дают в остатке 1. Например, 53 = 2 · 26 + 1, 121 = 2 · 60 + 1.

Заметим, что если чётное число умножить на 5, то получится число, последняя цифра которого равна 0. Например, 2 · 5 = 10, 16 · 5 = 80, 28 · 5 = 140. Если же нечётное число умножить на 5, то последняя цифра полученного произведения будет равна 5. Например, 3 · 5 = 15, 17 · 5 = 85, 29 · 5 = 145.

Итак, последней цифрой числа n · 5, где n — любое натуральное число, является 0 или 5. Также верно утверждение: если натуральное число оканчивается цифрой 0 или 5, то его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, одно из которых равно 5, т. е. представить в виде n · 5, где n — некоторое натуральное число. Например, 15 = 3 · 5, 120 = 24 · 5.

Теперь понятно, как среди натуральных чисел распознавать те, которые кратны 5.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5.

Если запись натурального числа оканчивается любой цифрой, отличной от 0 или 5, то это число не делится нацело на 5.

Например, числа 15, 35, 70, 3 580, 11 445 делятся нацело на 5, а числа 17, 24, 5 553, 172 802 нацело на 5 не делятся.

Выполнив деление, можно убедиться, что каждое из чисел 108, 4 869, 98 802 делится нацело на 9. А существует ли другой, более быстрый способ убедиться в этом?

Иными словами, существует ли признак делимости на 9? Да, он есть. Отметим, что сумма цифр каждого из этих трёх чисел кратна 9. А вот, например, ни сами числа 124, 533, 7 253, ни суммы их цифр, соответственно равные 7, 11, 17, не кратны 9. И это не случайно.

Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.

Аналогично можно определить, делится ли число нацело на 3.

Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

Например, число 7 854 делится нацело на 3, так как сумма его цифр, равная 24, делится нацело на 3. Число 3 749 не делится нацело на 3, так как сумма его цифр, равная 23, не делится нацело на 3.

1. Виленкин, Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2022. – 288 с.

2. Мерзляк, А.Г. Математика: 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2023. – 304 с.

3. Бунимович, Е.А. Математика: Арифметика. Геометрия: 6 класс: учебник / Е.А. Бунимович, Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2022. – 240 с. (УМК «Сферы»)

4. Виноградов, И.М. Основы теории чисел: Учебное пособие / И.М. Виноградов. – СПб.: Лань, 2019. – 176 с.

5. Зубелевич, Г.И. Сборник задач по математике для 5-6 классов: Пособие для учителей и учащихся / Г.И. Зубелевич. – М.: Илекса, 2021. – 336 с.

1. Число 42 кратно числу 6. Какое из следующих утверждений является верным?

1. 42 — делитель числа 6

2. 6 — делитель числа 42

3. Число 42 нельзя получить умножением 6 на натуральное число

4. Число 6 не является делителем никакого другого числа, кроме себя

2. Какое из чисел является делителем числа 48?

1. 9

2. 16

3. 18

4. 20

3. Какая из цифр должна стоять вместо звездочки в числе 23*5, чтобы оно делилось нацело на 5?

1. 2

2. 3

3. 5

4. Любая цифра

4. Какое из чисел делится и на 2, и на 5, и на 3 одновременно?

1. 120

2. 235

3. 405

4. 518

5. Выберите ряд, в котором перечислены все делители числа 28.

1. 1, 2, 4, 7, 14, 28

2. 2, 7, 14, 28

3. 1, 2, 7, 14, 28

4. 1, 4, 7, 28

6. Известно, что число m делится нацело на 4. Какое утверждение о числе m + 16 всегда будет верным?

1. m + 16 делится на 4

2. m + 16 не делится на 4

3. m + 16 делится на 8

4. Недостаточно данных для ответа

7. Сумма цифр некоторого числа равна 15. Что можно наверняка сказать об этом числе?

1. Оно делится на 5

2. Оно делится на 3

3. Оно делится на 9

4. Оно нечетное

8. Гипотеза: «Если каждое из двух чисел не делится на 6, то и их сумма не делится на 6». Для опровержения этой гипотезы достаточно привести контрпример:

1. 4 и 8 (их сумма 12)

2. 7 и 11 (их сумма 18)

3. 5 и 7 (их сумма 12)

4. 10 и 14 (их сумма 24)

9. Сколько четных трехзначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0, 2, 5 (цифры могут повторяться)?

1. 4

2. 5

3. 6

4. 7

10. Пусть a — натуральное число. Какое утверждение о его наименьшем и наибольшем кратном является истинным?

1. Наибольшего кратного не существует, наименьшее — число a

2. Наибольшее кратное — само число a, наименьшего не существует

3. И наибольшее, и наименьшее кратные существуют

4. Кратных у числа конечное число, поэтому можно найти и наибольшее, и наименьшее