Делимость целых чисел

Делимость целых чисел

Определение

Рассмотрим два целых числа а и b.

Говорят, что a делится нацело на b, если найдется такое целое число k, для которого выполняется равенство

(a )

Число a называется делимым, число b – делителем, число k – частным (если оно существует)

Свойства делимости:

• Любое целое число делится само на себя и на единицу. (
• Ноль делится на любое целое число
• На ноль делить нельзя
• Если одна из частей уравнения делится нацело на какое-то число, то и другая часть уравнения будет делится нацело это же число.
• Если каждое из двух целых слагаемых а и b делится на целое число с, то сумма
• Если   , то a = b или a = -b

Задачи:

Тест:

• Выберите верные утверждения:

• Если в произведении один из множителей делится на некоторое число, то и само произведение делится на это число
• Если в сумме одно из слагаемых не делится на некоторое число, а остальные делятся, то сумма на это число делится
• Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье
• Если в сумме каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сама сумма не делится на это число

• Докажите, что произведение любых четырёх последовательных целых чисел делится на 8.
• Дождь над Сочи начался в полночь и лил ровно 7200 минут, могло ли так случиться, что сразу после этого выглянуло солнце?
• Петя съел все свои конфеты. Он съел 6 конфет и ещё половину из всех конфет, которые у него были. Сколько конфет съел Петя?

• Докажите, что произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.
• Докажите, что для любого натурального n число (n−1)⋅n⋅(n+1) ⋮ 6.
• В верхней строке даны верные утверждения, в левом столбце утверждения, которые надо проверить. Заполните пустые клетки: если утверждения верны, то знак +, если «нет», то «−», если данных не хватает, то знак «?». Обоснуйте свои ответы.

• На сколько нулей оканчивается произведение?

• 1·2·3·4·…·10
• 1·2·3·4·…·20

Задачи:

• Фотограф целую неделю фотографировал и каждый день начиная со второго делал вдвое больше фотографий, чем в предыдущий день. Друзьям он сказал, что во вторник, среду и четверг он сделал ровно 100 фотографий. Могут ли его слова быть правдой?

• Маша показывает такой фокус: ей называют любое трёхзначное число, она приписывает к нему такое же, а потом в уме за секунду делит получившееся шестизначное число на 1001. Как она это делает?

• Цифры двухзначного числа поменяли местами и из полученного вычли исходное доказать, что это разность делится на 9

• Натуральное число a таково, что a+2 делится нацело на 5. Докажите, что 7a+ 4 также делится нацело на 5.

• Натуральные числа 3n+2 и 8n+3 делятся нацело на натуральное число р( . Найдите р .

Тест:

• Художник целую неделю рисовал на природе и каждый день начиная со второго делал вдвое больше зарисовок, чем в предыдущий день. Друзьям он сказал, что за понедельник, вторник и пятницу он сделал ровно 38 зарисовок. Могут ли его слова быть правдой? Если да, то сколько зарисовок он сделал во вторник?
• Катя показывает такой фокус: ей называют любое двухзначное число, она приписывает к нему такое же двухзначное, а потом в уме за секунду делит получившееся четырёхзначное число на 101. Как она это делает?
• Цифры двухзначного числа поменяли местами, затем сложили. Делится ли эта сумма на 11?
•   a + 1  делится на 3. Докажите, что  4+7a  делится на 3
• Натуральные числа (5m+7) и (9m+10) делятся нацело на натуральное число k(k≠1). Найдите k